معادله درجه دوم: از تشخیص تا حل در گامهای ساده
در این مقاله با مفهوم معادله درجه دوم آشنا میشویم. ابتدا تعریف دقیق و فرم استاندارد آن را بررسی کرده، سپس سه روش اصلی حل یعنی فرمول کلی (ریشهگیری)، تجزیه و کامل کردن مربع را گامبهگام با مثال یاد میگیریم. در ادامه، اهمیت مقدار دلتا (Δ) در تعیین تعداد و نوع جوابها توضیح داده میشود و در نهایت کاربرد این معادلات در مسائل روزمره و چالشهای رایج دانشآموزان بررسی خواهد شد.
۱. شناخت معادله درجه دوم و فرم استاندارد
به معادلهای که پس از سادهسازی، بزرگترین توان متغیر (معمولاً x) برابر با 2 باشد، معادله درجه دوم$^1$ گفته میشود. شکل استاندارد این معادلات به صورت زیر است:
$ax^2 + bx + c = 0$که در آن a، b و c ثابتهای حقیقی هستند و شرط اصلی این است که a \neq 0. اگر a = 0 باشد، معادله به یک معادله خطی (درجه اول) تبدیل میشود.
گاهی معادلات به صورت سادهشده ارائه میشوند. برای مثال، معادله $2x(x - 1) = 4$ ابتدا باید ساده شود:
$2x^2 - 2x = 4 \implies 2x^2 - 2x - 4 = 0$که پس از سادهسازی (تقسیم بر 2) به فرم استاندارد $x^2 - x - 2 = 0$ میرسیم.
۲. روشهای حل معادله درجه دوم
برای حل یک معادله درجه دوم، یعنی یافتن مقادیری از x که در معادله صدق میکنند، سه روش رایج وجود دارد. انتخاب روش بستگی به شکل معادله و سلیقه شما دارد.
۲.۱. روش فرمول کلی (ریشهگیری)
این روش عمومیترین و مطمئنترین روش برای حل هر نوع معادله درجه دوم است. ریشههای معادله $ax^2 + bx + c = 0$ از فرمول زیر به دست میآیند:
$x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}$که در آن \Delta (دلتا) برابر است با:
$\Delta = b^2 - 4ac$مقدار دلتا مشخص میکند که معادله چند جواب حقیقی دارد:
| مقدار دلتا (Δ) | تعداد جواب حقیقی | توضیح |
|---|---|---|
| $\Delta \gt 0$ | 2 | دو جواب حقیقی متمایز |
| $\Delta = 0$ | 1 | یک جواب حقیقی (دو جواب برابر یا مضاعف) |
| $\Delta \lt 0$ | 0 | بدون جواب حقیقی (جوابها مختلط هستند) |
مثال: معادله $x^2 - 5x + 6 = 0$ را حل کنید.
در این معادله a = 1، b = -5 و c = 6. ابتدا دلتا را حساب میکنیم:
$\Delta = (-5)^2 - 4(1)(6) = 25 - 24 = 1$از آنجا که $\Delta \gt 0$، دو جواب متمایز داریم:
$x = \frac{5 \pm \sqrt{1}}{2 \times 1} = \frac{5 \pm 1}{2}$بنابراین:
$x_1 = \frac{5+1}{2} = 3$ , $x_2 = \frac{5-1}{2} = 2$۲.۲. روش تجزیه (فاکتورگیری)
اگر بتوان عبارت $ax^2 + bx + c$ را به صورت حاصلضرب دو عبارت درجه اول نوشت، ریشهها به سادگی به دست میآیند. این روش معمولاً وقتی a = 1 است، کاربرد سادهتری دارد. به دنبال دو عدد میگردیم که حاصلضربشان برابر c و مجموعشان برابر b باشد.
مثال: معادله $x^2 - 5x + 6 = 0$ (مثال قبل). به دو عدد نیاز داریم که حاصلضربشان 6 و مجموعشان 5 باشد. این دو عدد 2 و 3 هستند. بنابراین:
$x^2 - 5x + 6 = (x - 2)(x - 3) = 0$حاصلضرب دو عبارت صفر است، پس هر کدام میتوانند صفر باشند: $x - 2 = 0 \implies x = 2$ یا $x - 3 = 0 \implies x = 3$.
۲.۳. روش کامل کردن مربع
در این روش، سعی میکنیم معادله را به شکل $(x - p)^2 = q$ درآوریم. سپس با جذر گرفتن از دو طرف، معادله حل میشود.
مثال: معادله $x^2 - 6x + 4 = 0$ را در نظر بگیرید. مراحل به این شرح است:
- جمله ثابت را به سمت راست میبریم: $x^2 - 6x = -4$
- به دو طرف عبارت، مربع کامل ضریب x را اضافه میکنیم. ضریب x برابر -6 است. نصف آن -3 و مربع آن 9 میشود. به دو طرف 9 اضافه میکنیم: $x^2 - 6x + 9 = -4 + 9$
- سمت چپ به صورت مربع کامل درمیآید: $(x - 3)^2 = 5$
- از دو طرف جذر میگیریم: $x - 3 = \pm \sqrt{5}$
- بنابراین: $x = 3 \pm \sqrt{5}$
۳. کاربرد عملی: از مسأله تا معادله
معادلات درجه دوم تنها یک مفهوم انتزاعی نیستند؛ در بسیاری از مسائل دنیای واقعی کاربرد دارند. فرض کنید میخواهیم زمینی مستطیل شکل به مساحت 24 متر مربع حصارکشی کنیم. اگر طول زمین 5 متر از عرض آن بیشتر باشد، ابعاد زمین چقدر است؟
عرض را x بگیرید. طول میشود x + 5. مساحت مستطیل برابر است با طول \times عرض، بنابراین:
$x(x + 5) = 24$که با سادهسازی به معادله درجه دوم $x^2 + 5x - 24 = 0$ میرسیم. با حل آن (به روش تجزیه، دو عدد 8 و -3 که مجموعشان 5 و حاصلضربشان -24 است): $(x + 8)(x - 3) = 0$. از آنجا که عرض نمیتواند منفی باشد، x = 3 و طول برابر 8 متر خواهد بود.
۴. چالشهای مفهومی
زیرا در فرمول حل، \sqrt{\Delta} ظاهر میشود. در مجموعه اعداد حقیقی، جذر یک عدد منفی تعریف نشده است. در چنین مواردی میگوییم معادله در اعداد حقیقی جواب ندارد، اما در مجموعه اعداد مختلط$^2$ میتوان برای آن جواب نوشت.
خیر. روش تجزیه فقط زمانی کاربرد دارد که ریشهها گویا (معمولاً اعداد صحیح یا کسری ساده) باشند. در غیر این صورت، مانند مثال $x^2 - 6x + 4 = 0$ که ریشهها شامل \sqrt{5} هستند، باید از فرمول کلی یا روش کامل کردن مربع استفاده کرد.
اگر معادله به فرم ax^2 + bx + c = 0 با a کوچک باشد، ابتدا امتحان کنید که آیا به راحتی تجزیه میشود یا خیر (مانند x^2 - 5x + 6 = 0). اگر ضرایب بزرگ یا کسری بودند، مستقیم به سراغ فرمول کلی بروید. روش مربع کامل نیز برای معادلاتی که ضریب x^2 و ضریب x شرایط خاصی دارند (مثلاً زوج هستند)، میتواند مفید باشد.
پاورقیها
1. معادله درجه دوم (Quadratic Equation): به هر معادله چندجملهای با بزرگترین توان 2 گفته میشود.
2. اعداد مختلط (Complex Numbers): اعدادی به شکل $a + bi$ که در آن i = \sqrt{-1} است. این اعداد برای حل معادلاتی با دلتای منفی به کار میروند.