الگوی مربعی: دنیای اعداد منظم
مربع عدد یعنی چه؟
فرض کن یک باغچه‌ی کوچک مربع شکل داری که در هر ردیف، 3 گل کاشته‌ای. برای اینکه بدانی در کل باغچه چند گل داری، باید تعداد ردیف‌ها را در تعداد گل‌های هر ردیف ضرب کنی: $ 3 \times 3 = 9 $. این عمل در ریاضی، مربع کردن۱ نام دارد. پس می‌گوییم مربع عدد 3 برابر است با 9.
اعدادی که از ضرب یک عدد در خودش به دست می‌آیند، اعداد مربع کامل۲ نامیده می‌شوند. مثلاً:
| عدد اصلی | عمل مربع کردن | عدد مربع کامل | نمایش با نقطه |
|---|---|---|---|
| 1 | $ 1 \times 1 $ | 1 | ● |
| 2 | $ 2 \times 2 $ | 4 | ●● ●● |
| 3 | $ 3 \times 3 $ | 9 | ●●● ●●● ●●● |
| 4 | $ 4 \times 4 $ | 16 | ●●●● ●●●● ●●●● ●●●● |
دنباله اعداد مربعی
اگر اعداد مربع کامل را پشت سر هم و به ترتیب بنویسیم، یک دنباله‌ی مربعی۳ زیبا به دست می‌آید. این دنباله با عدد 1 شروع می‌شود و هر عدد جدید، مربع عدد بعدی در اعداد طبیعی است.
دنباله:1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, ...
یک بازی ساده: سعی کن چهار عدد بعدی این دنباله را پیدا کنی! (پاسخ: 121, 144, 169, 196).
الگوی مربعی در خانه و طبیعت
این الگو فقط در کتاب‌های ریاضی نیست؛ همه‌جا هست! به اطرافت نگاه کن:
کاشی‌های حمام یا آشپزخانه: اگر یک بخش مربعی از کاشی‌ها را در نظر بگیری، تعداد کل کاشی‌های آن بخش حتماً یک عدد مربع کامل است. مثلاً یک منطقه 6 در 6 کاشی، در مجموع 36 کاشی دارد که یک عدد مربع کامل است.
جعبه‌ی تخم مرغ: بعضی از جعبه‌ها را نگاه کن. ممکن است به شکل مربع و مثلاً 4 در 4 ساخته شده باشند که در این صورت جا برای 16 تخم مرغ دارند.
مزرعه: یک کشاورز اگر بخواهد زمین مربع شکلی را شخم بزند، مساحت زمینی که کار کرده، یک عدد مربع کامل است.
صفحۀ شطرنج: یک صفحه شطرنج استاندارد 8 در 8 خانه دارد، یعنی در کل 64 خانه که آن هم یک عدد مربع کامل است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. فقط اعدادی مانند 1, 4, 9, 16, 25 و ... مربع کامل هستند. اعدادی مثل 2, 3, 5, 6, 7, 8 و ... را نمی‌توان به صورت ضرب یک عدد طبیعی در خودش نوشت، پس مربع کامل نیستند.
ساده‌ترین راه این است که ببینیم آیا می‌توان آن عدد را به صورت ضرب یک عدد طبیعی در خودش نوشت یا نه. مثلاً عدد 36 را در نظر بگیر. چون $ 6 \times 6 = 36 $ می‌شود، پس 36 یک مربع کامل است.
بله، زیرا $ 0 \times 0 = 0 $ می‌شود. پس صفر را نیز می‌توان یک عدد مربع کامل در نظر گرفت.
پاورقی
۱مربع کردن (Squaring): عمل ضرب یک عدد در خودش.
۲اعداد مربع کامل (Perfect Square Numbers): به اعدادی گفته می‌شود که حاصل ضرب یک عدد طبیعی در خودش باشند.
۳دنباله‌ی مربعی (Square Number Sequence): دنباله‌ای از اعداد که هر جمله‌ی آن یک عدد مربع کامل است.