قرارداد ریشه زوج: شرط مثبت یا صفر بودن زیر رادیکال
۱. ریشه زوج و فرد: تعریف و تفاوت اساسی
برای درک قرارداد ریشه زوج، ابتدا باید با دو مفهوم فرجه فرد و فرجه زوج آشنا شویم. فرجه، همان عدد بالای علامت رادیکال ($\sqrt[n]{ }$) است که نشان میدهد ریشه از چه مرتبهای گرفته میشود. تفاوت اصلی این دو دسته در دامنهٔ مجاز برای عبارت زیر رادیکال خلاصه میشود.
- ریشه با فرجه فرد (مانند $\sqrt[3]{x}$، $\sqrt[5]{x}$) برای همه اعداد حقیقی تعریف میشود. یعنی میتوانیم ریشه سوم یک عدد منفی را محاسبه کنیم: $\sqrt[3]{-8} = -2$.
- ریشه با فرجه زوج (مانند $\sqrt[2]{x}$ یا همان $\sqrt{x}$، $\sqrt[4]{x}$) تنها برای اعداد نامنفی (صفر و اعداد مثبت) تعریف میشود. به عبارت دیگر، $x \ge 0$ شرط ضروری است.
این تفاوت ریشه در ذات عملگرهای ریاضی است. اگر از ما بپرسند چه عددی را به توان $2$ برسانیم تا $-4$ به دست آید، در مجموعه اعداد حقیقی پاسخی وجود ندارد، زیرا مربع هر عدد حقیقی (چه مثبت و چه منفی) همواره نامنفی است1. به همین دلیل، ریشه دوم عدد $-4$ در اعداد حقیقی تعریفنشده باقی میماند.
۲. کاربرد عملی: تعیین دامنه توابع رادیکالی
یکی از مهمترین کاربردهای این قرارداد در مبحث تعیین دامنه توابع است. وقتی تابعی به شکل $f(x) = \sqrt[even]{g(x)}$ داریم، برای یافتن دامنه تابع (همه مقادیر مجاز برای $x$) باید نامساوی $g(x) \ge 0$ را حل کنیم.
مثال ۱: دامنه تابع $f(x) = \sqrt{x - 3}$ را به دست آورید.
چون فرجه زوج است ($2$)، باید زیر رادیکال نامنفی باشد:
$x - 3 \ge 0 \implies x \ge 3$
بنابراین دامنه تابع مجموعه $[3, +\infty)$ است.
مثال ۲: دامنه تابع $f(x) = \sqrt[4]{x^2 - 4}$ را بیابید.
فرجه $4$ (زوج) است، بنابراین:
$x^2 - 4 \ge 0 \implies x^2 \ge 4 \implies |x| \ge 2$
دامنه تابع $(-\infty, -2] \cup [2, +\infty)$ خواهد بود.
۳. کاربرد در حل معادلات رادیکالی
در حل معادلاتی که شامل ریشه زوج هستند، معمولاً پس از از بین بردن رادیکال (با رساندن دو طرف معادله به توان فرجه)، باید شرط اولیه وجود رادیکال را نیز در نظر داشته باشیم. گاهی این شرط در انتهای کار جوابهای اضافی (جوابهای کاذب) را حذف میکند.
مثال ۳: معادله $\sqrt{2x + 3} = x$ را حل کنید.
- گام اول - اعمال شرط وجود رادیکال:$2x + 3 \ge 0 \implies x \ge -\frac{3}{2}$
- گام دوم - مربع کردن دو طرف (برای از بین بردن رادیکال):$(\sqrt{2x+3})^2 = x^2 \implies 2x + 3 = x^2$
- گام سوم - حل معادله درجه دوم:$x^2 - 2x - 3 = 0 \implies (x-3)(x+1)=0 \implies x=3$ یا $x=-1$
- گام چهارم - بررسی با شرط اولیه: هر دو جواب $x=3$ و $x=-1$ شرط $x \ge -\frac{3}{2}$ را ارضا میکنند. اما باید جوابها را در معادله اصلی نیز امتحان کنیم (ممکن است مربع کردن باعث ایجاد جواب کاذب شود).
- گام پنجم - آزمون نهایی:
- $x=3$: $\sqrt{2(3)+3} = \sqrt{9}=3$ و سمت راست $3$ است. ✔️ قبول
- $x=-1$: $\sqrt{2(-1)+3} = \sqrt{1}=1$ ولی سمت راست معادله $-1$ است. ❌ رد میشود.
بنابراین معادله فقط یک جواب دارد: $x=3$.
۴. مقایسه ریشه زوج و فرد در یک نگاه
| ویژگی | فرجه فرد ($n$ فرد) | فرجه زوج ($n$ زوج) |
|---|---|---|
| دامنهٔ $a$ در $\sqrt[n]{a}$ | تمام اعداد حقیقی ($\mathbb{R}$) | اعداد نامنفی ($a \ge 0$) |
| علامت نتیجه | همعلامت با $a$ | همیشه نامنفی (مثبت یا صفر) |
| مثال | $\sqrt[3]{-27} = -3$ | $\sqrt{25} = 5$ (نه $-5$)2 |
| شرط در معادلات | نیاز به شرط اضافه ندارد | باید حتماً $a \ge 0$ را اعمال کرد |
۵. چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
پاسخ چون فرض کنید $\sqrt{-4}=x$، آنگاه باید $x^2=-4$. میدانیم مربع هر عدد حقیقی هرگز منفی نمیشود. بنابراین چنین $x$ای در اعداد حقیقی وجود ندارد. این محدودیت از ویژگی میدان اعداد حقیقی ناشی میشود.
پاسخ این به تعریف تابع ریشه اصلی (Principal Square Root) برمیگردد. علامت رادیکال $\sqrt{}$ بهطور قراردادی نشاندهنده ریشه دوم نامنفی است تا بتوانیم آن را بهعنوان یک تابع تکمقداری تعریف کنیم. بنابراین معادله $x^2=9$ دو جواب دارد: $x=\pm 3$، اما $\sqrt{9}$ تنها برابر $3$ است.
پاسخ در اینجا از آنجایی که $x^2$ همواره بزرگتر مساوی صفر است، شرط وجود رادیکال بهطور خودکار برای هر $x$ حقیقی برقرار است. اما باید دقت کنیم که $\sqrt{x^2} = |x|$، نه $x$. این یکی از دامهای رایج در ریاضیات دبیرستانی است.
پاورقیها
1اعداد حقیقی (Real Numbers): مجموعهای از اعداد که شامل اعداد گویا (مانند کسرها) و اعداد گنگ (مانند رادیکالها) هستند و روی محور اعداد قابل نمایش میباشند. اعداد مختلط که شامل واحد موهومی $i$ هستند، در این بحث وارد نمیشوند.
2ریشه اصلی (Principal Root): برای ریشههای زوج، ریشه اصلی همواره یک مقدار نامنفی است. این قرارداد به ما اجازه میدهد تا از رادیکال بهعنوان یک تابع استفاده کنیم.
