سامانه تصویری نقشه: از کره تا صفحه
چرا نمیتوان پوست پرتقال را صاف کرد؟ معمای تبدیل کره به سطح مسطح
تصور کنید یک پرتقال را پوست میکنید و میخواهید پوست آن را کاملاً صاف و پهن روی میز قرار دهید. بدون پاره کردن یا کشیدن شدید پوست، این کار غیرممکن است. سطح یک کره (یا کروی مانند زمین) دارای انحنای ذاتی است که با سطح صاف (مسطح) تفاوت اساسی دارد . ریاضیدانان ثابت کردهاند که انجام این کار بدون «اعوجاج» (Distortion) یا تغییر شکل، ممکن نیست.
سامانه تصویری نقشه1 (Map Projection) مجموعهای از روابط ریاضی است که مختصات هر نقطه روی کره زمین (طول و عرض جغرافیایی) را به مختصاتی روی یک سطح صاف (نقشه) تبدیل میکند . این تبدیل همیشه با هزینه همراه است؛ ما مجبوریم یکی از ویژگیهای هندسی مانند شکل، مساحت، فاصله یا جهت را فدا کنیم تا بتوانیم بقیه را حفظ کنیم. بهعنوانمثال، برای ترسیم یک مسیر دریایی، شاید حفظ جهت صحیح (زاویه) از حفظ اندازه واقعی قارهها مهمتر باشد.
سه خانواده اصلی تصویر: استوانهای، مخروطی و آزیموتی
بهطور سنتی، روشهای تصویر کردن زمین را بر اساس سطحی که روی آن تصویر میشود (سطح قابل توسعه) به سه دسته اصلی تقسیم میکنند . این سطوح شامل استوانه، مخروط و صفحه هستند. انتخاب هر کدام از این روشها، نوع اعوجاج و منطقهای از زمین که با کمترین خطا نشان داده میشود را مشخص میکند.
| خانواده تصویری | روش تصویر کردن | منطقه با کمترین اعوجاج | مثال معروف |
|---|---|---|---|
| استوانهای | تصویر نقاط کره روی یک استوانه که سپس باز میشود | نواحی نزدیک استوا | مرکاتور (Mercator) |
| مخروطی | تصویر نقاط کره روی یک مخروط که سپس باز میشود | نواحی عرضهای جغرافیایی میانی (مانند آمریکا، اروپا) | لامبرت مخروطی همزاویه (Lambert Conformal Conic) |
| آزیموتی (صفحهای) | تصویر مستقیم نقاط کره روی یک صفحه | نواحی قطبی یا ناحیه اطراف نقطه تماس صفحه | تصویر استریوگرافیک قطبی (Stereographic) |
قربانی کردن چه چیزی؟ انواع اعوجاج در نقشهها
هدف نقشهکش (کارتوگراف) انتخاب تصویری است که متناسب با کاربرد نقشه، کمترین اعوجاج را در ویژگیهای مورد نظر ایجاد کند. این ویژگیها معمولاً شامل چهار دستهاند که در قالب «خواص تصویر» شناخته میشوند . برای درک بهتر این اعوجاجها، میتوان از شکلی به نام «بیضی وارون»2 (Tissot’s Indicatrix) استفاده کرد که نشان میدهد یک دایره کوچک روی کره، پس از تصویر شدن روی نقشه، به چه شکلی تبدیل میشود.
- تصاویر همزاویه (Conformal): شکل زوایا و نواحی کوچک را بهدرستی حفظ میکنند، اما مساحتها را به شدت دچار اعوجاج میکنند. نقشه مرکاتور معروفترین نمونه است . در این نقشه، گرینلند به اندازه آفریقای جنوبی دیده میشود، در حالی که مساحت آفریقای جنوبی حدود 14 برابر بزرگتر است.
- تصاویر هممساحت (Equal-Area): اندازه مناطق را به درستی نشان میدهند، اما شکل آنها (بهویژه در لبههای نقشه) کشیده یا فشرده میشود. نقشههای مولواید (Mollweide) و سینوسوئیدی (Sinusoidal) از این دستهاند . این نقشهها برای نمایش توزیع جمعیت یا پوشش گیاهی ایدهآل هستند.
- تصاویر همفاصله (Equidistant): فاصله را از یک یا دو نقطه خاص (یا در امتداد خطوط ویژهای مانند نصفالنهارها) به درستی نشان میدهند. بهعنوانمثال، در تصویر مخروطی همفاصله، فواصل در امتداد نصفالنهارها دقیق هستند .
- تصاویر جهتنما (Azimuthal): جهت (آزیموت) تمام نقاط نسبت به یک نقطه مرکزی (مانند قطب) را درست نشان میدهند. تصویر استریوگرافیک که جهات را بهخوبی حفظ میکند، در این گروه قرار میگیرد .
مثال عینی: نجات یک کشتی با نقشه مرکاتور
سال 1569 میلادی، «گراردوس مرکاتور»3 نقشهای از جهان منتشر کرد که انقلابی در دریانوردی ایجاد نمود. در نقشه مرکاتور (یک تصویر استوانهای همزاویه)، خطوط با زاویه ثابت (هممسیرها یا روملاینها) به صورت خطوط راست نمایش داده میشوند . این یعنی یک ناخدا میتوانست با کشیدن یک خط راست از مبدأ به مقصد روی نقشه، زاویه ثابتی را که باید با قطبنما حفظ کند، بهراحتی بخواند و کشتی را در آن جهت حرکت دهد. اگرچه این مسیر لزوماً کوتاهترین مسیر (که بر روی کره به صورت یک قوس بزرگ است) نیست، اما سادگی ناوبری در دریاهای بینشانه را ممکن ساخت و جان میلیونها ملوان را نجات داد.
چالشهای مفهومی (پرسش و پاسخ)
زیرا در تصویر استوانهای مرکاتور، فاصله بین عرضهای جغرافیایی با نزدیک شدن به قطبها به سرعت افزایش مییابد . قطبها در بینهایت ریاضی قرار میگیرند و عملاً قابل نمایش نیستند. این بزرگنمایی نواحی قطبی باعث میشود روسیه، کانادا و گرینلند بسیار عظیمتر از اندازه واقعیشان (نسبت به نواحی استوایی) دیده شوند.
هیچ نقشهای نمیتواند هر دو ویژگی را برای کل جهان بهطور همزمان حفظ کند. برای این کار از تصاویر «میانهرو» یا «سازشی» (Compromise) استفاده میشود. این تصاویر نه کاملاً هممساحت هستند و نه همزاویه، بلکه تلاش میکنند با متعادل کردن همه انواع اعوجاج، نقشهای از نظر بصری خوشایند و قابل قبول تولید کنند. نقشه معروف «وینکل تریپل» (Winkel Tripel) که توسط انجمن نشنال جئوگرافیک استفاده میشود، یک تصویر سازشی است .
برای نقشههای کشوری که دارای امتداد شرقی-غربی هستند (مانند ایران)، اغلب از تصاویر «مخروطی» استفاده میشود. با انتخاب دو «موازی استاندارد» (Standard Parallels) در داخل مرزهای ایران (مثلاً عرضهای 25 و 40 درجه شمالی)، یک تصویر مخروطی همفاصله میتواند اعوجاج را در کل کشور به حداقل برساند و فواصل را در امتداد نصفالنهارها دقیق نگه دارد .
چگونه یک نقطه از کره به نقطهای روی نقشه تبدیل میشود؟ نگاهی به فرمولها
فرآیند تصویر کردن توسط روابط ریاضی انجام میشود. سادگی یا پیچیدگی این فرمولها به نوع تصویر بستگی دارد. بهعنوان نمونه، تصویر مرکاتور کروی (که امروزه در وبسایتهایی مانند گوگلمپ استفاده میشود، با نام «وب مرکاتور»4) از فرمول زیر برای محاسبه مختصات صفحهای (x, y) استفاده میکند :
$x = R \times (\lambda - \lambda_0)$$y = R \times \ln \left[ \tan \left( \frac{\pi}{4} + \frac{\phi}{2} \right) \right] $
در این فرمولها، $R$ شعاع کره، $\lambda$ طول جغرافیایی، $\lambda_0$ نصفالنهار مبدأ و $\phi$ عرض جغرافیایی است. دقت کنید که تابع لگاریتمی (Logarithmic) و مثلثاتی (Tangent) به کار رفته در فرمول $y$، عامل بزرگنمایی بینهایت در نزدیکی قطبهاست. برای یک تصویر مخروطی همفاصله، فرمولها کمی پیچیدهتر میشوند و شامل پارامترهایی برای تنظیم موازیهای استاندارد هستند .
جمعبندی: سامانههای تصویری نقشه ابزاری ضروری برای نمایش جهان کروی ما روی سطوح مسطح هستند. هیچ تصویر کاملی وجود ندارد و هر کدام نوعی از اعوجاج (شکل، مساحت، فاصله یا جهت) را میپذیرند تا ویژگیهای دیگر را حفظ کنند. انتخاب تصویر مناسب کاملاً به هدف نقشه بستگی دارد؛ برای ناوبری، تصاویر همزاویه (مانند مرکاتور)، برای تحلیلهای آماری، تصاویر هممساحت (مانند مولواید) و برای نقشههای مناطق معتدل، تصاویر مخروطی (مانند لامبرت) بهترین گزینه هستند. درک این مفاهیم به ما کمک میکند تا نقشهها را نه بهعنوان تصاویری کاملاً واقعی، بلکه بهعنوان مدلهای ریاضی از جهان پیرامون خود ببینیم.
پاورقی
2 بیضی وارون (Tissot’s Indicatrix): شکلی هندسی (معمولاً یک دایره) که برای نشان دادن میزان و نوع اعوجاج در نقاط مختلف یک نقشه استفاده میشود. با مشاهده چگونگی تغییر شکل این دایره به بیضی، میتوان به اعوجاج در جهتهای مختلف پی برد .
3 گراردوس مرکاتور (Gerardus Mercator): ریاضیدان و نقشهکش فلاندری قرن 16 میلادی که با ابداع تصویر مرکاتور، تحولی در دریانوردی ایجاد کرد .
4 وب مرکاتور (Web Mercator): گونهای از تصویر مرکاتور است که اگرچه خواص ریاضی تصویر اصلی را بهطور کامل حفظ نمیکند، اما به دلیل سادگی محاسبات و یکپارچگی در ارائه، به استاندارد غالب در نقشههای تحت وب مانند گوگلمپ و اوپناستریتمپ تبدیل شده است .
