جمع و تفریق چندجملهای: سازماندهی و سادهسازی
تکجملهها و چندجملهایها: بلوکهای سازندهی عبارات جبری
قبل از هر چیز باید با اجزای اصلی کار آشنا شویم. یک تکجمله از حاصلضرب یک عدد در یک یا چند متغیر با توانهای صحیح غیرمنفی تشکیل شده است. مثال: $3x^2$، $-5ab$ یا $7$ (عدد به تنهایی هم یک تکجمله است). وقتی دو یا چند تکجمله را با علامت + یا - به هم وصل کنیم، یک چندجملهای ساختهایم. مثال: $2x^2 - 5x + 3$.
اما مهمترین مفهوم برای جمع و تفریق، جملههای متشابه است. دو جمله، متشابه هستند اگر بخش حرفی یکسان داشته باشند. بخش حرفی یعنی متغیرها و توان هر متغیر دقیقاً مثل هم باشند.
| جمله | جملهی متشابه با آن | جملهی غیرمتشابه با آن | دلیل |
|---|---|---|---|
| $5x^2y$ | $-3x^2y$ | $4xy^2$ | توان متغیر x و y متفاوت است. |
| $-7a$ | $\frac{1}{2}a$ | $-7a^2$ | توان متغیر a یکسان نیست. |
| $9$ | $-4$ | $3m$ | اعداد ثابت با هم متشابه هستند. اعداد با متغیر دار متشابه نیستند. |
قاعدهی طلایی: فقط جملههای متشابه را میتوان با هم جمع یا تفریق کرد
فرض کنید میخواهید میوهها را بشمارید. طبیعتاً ۳ سیب و ۲ سیب را با هم جمع میکنید تا ۵ سیب به دست آید. اما ۳ سیب و ۲ پرتقال را نمیتوان به ۵ میوهی یکسان تبدیل کرد، فقط میگوییم «۳ سیب و ۲ پرتقال». در جبر هم دقیقاً همین قاعده حاکم است:
- برای جمع یا تفریق جملههای متشابه، ضرایب4 آنها را با هم جمع یا از هم کم میکنیم و بخش حرفی را بدون تغییر نگه میداریم.
$5x + 3x = (5+3)x = 8x$
$4a^2 - a^2 = (4-1)a^2 = 3a^2$ - جملههای غیرمتشابه را نمیتوان با هم ترکیب کرد. آنها را با علامت اصلیشان کنار هم مینویسیم.
$2x + 3y$ را نمیتوان سادهتر کرد. پاسخ همان $2x+3y$ است.
$A + B = (a+b)K$ و $A - B = (a-b)K$
که در آن $a$ و $b$ ضرایب این دو جمله هستند.
مراحل گامبهگام برای جمع و تفریق چندجملهایها
برای اینکه کارمان منظم باشد، این چهار مرحله را دنبال کنید:
- پرانتزها را با دقت باز کنید: به علامت منفی قبل از پرانتز توجه ویژه داشته باشید. اگر علامت منفی قبل از پرانتز باشد، علامت همهی جملههای داخل پرانتز تغییر میکند.
- جملههای متشابه را شناسایی و کنار هم بنویسید: میتوانید دور جملههای متشابه خط بکشید یا با رنگهای مختلف مشخص کنید.
- ضرایب جملههای متشابه را با هم جمع یا تفریق کنید: بخش حرفی را دست نخورده نگه دارید.
- چندجملهای نهایی را به صورت منظم بنویسید: معمولاً بهتر است جملهها را بر اساس توان از بزرگ به کوچک مرتب کنید (مرتب کردن اختیاری اما منظمکننده است).
مثال عملی: فرض کنید دو عبارت $(3x^2 + 2x - 5)$ و $(4x - x^2 + 1)$ را میخواهیم با هم جمع کنیم.
گام ۱: چون علامت جمع است، پرانتزها را ساده حذف میکنیم: $3x^2 + 2x - 5 + 4x - x^2 + 1$
گام ۲ و ۳: جملههای متشابه را پیدا و ترکیب میکنیم:
جملههای $x^2$ دار: $3x^2 - x^2 = (3-1)x^2 = 2x^2$
جملههای $x$ دار: $2x + 4x = (2+4)x = 6x$
جملههای ثابت: $-5 + 1 = -4$
گام ۴: حالا همهی نتایج را کنار هم مینویسیم: $2x^2 + 6x - 4$
کاربرد در دنیای واقعی: از خرید تا محاسبات هندسی
جمع و تفریق چندجملهای فقط یک تمرین ریاضی نیست. در زندگی روزمره هم کاربرد دارد.
مثال ۱: خرید از مغازه
قیمت هر کیلو سیب $a$ تومان و قیمت هر کیلو پرتقال $b$ تومان است. اگر علی ۳ کیلو سیب و ۲ کیلو پرتقال بخرد و سارا ۱ کیلو سیب و ۴ کیلو پرتقال، مجموع خرید آنها چقدر میشود؟
پاسخ: $(3a+2b) + (1a+4b) = 3a+2b+1a+4b = (3a+1a) + (2b+4b) = 4a + 6b$ تومان.
دقت کنید $a$ و $b$ غیرمتشابه هستند، بنابراین فقط ضرایبشان جداگانه جمع زده شد.
مثال ۲: محیط یک شکل هندسی
فرض کنید طول یک مستطیل $2x+1$ و عرض آن $x-3$ سانتیمتر باشد. محیط مستطیل از فرمول $P=2\times (طول + عرض)$ به دست میآید.
ابتدا جمع طول و عرض: $(2x+1) + (x-3) = 2x+1+x-3 = 3x - 2$
حالا در عدد ۲ ضرب میکنیم: $2 \times (3x-2) = 6x - 4$ سانتیمتر.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر! این یک اشتباه رایج است. چون بخش حرفی آنها ($x^2$ و $x$) یکسان نیستند، این دو جمله غیرمتشابه هستند. پس نمیتوان ضرایب آنها را جمع کرد. پاسخ صحیح همان $2x^2 + 3x$ است. جمع کردن فقط برای ضریبهاست، نه برای توانها.
پاسخ:علامت منفی قبل از پرانتز مهمترین نکته است. این علامت، علامت همهی جملههای داخل پرانتز دوم را تغییر میدهد. مثال: $(5a - 2b) - (a - 3b) = 5a - 2b - a + 3b$. دقت کنید که $-a$ به $-a$ تبدیل شد و $-(-3b)$ به $+3b$ تبدیل شد. سپس جملههای متشابه را ترکیب میکنیم: $(5a - a) + (-2b+3b) = 4a + b$.
پاسخ: بله، تمام اعداد ثابت (که فاقد متغیر هستند) با یکدیگر متشابه محسوب میشوند. زیرا بخش حرفی همهی آنها خالی است و در واقع یکسان است. پس میتوانید آنها را مستقیماً با هم جمع یا تفریق کنید: $4 + 9 = 13$ یا $6 - 10 = -4$.
پاورقی
1جملههای متشابه (Like Terms): جملاتی که بخش حرفی (متغیرها و توانهای آنها) یکسان داشته باشند.
2تکجمله (Monomial): یک عبارت جبری که از حاصلضرب یک عدد در یک یا چند متغیر با توانهای غیرمنفی تشکیل شده است.
3چندجملهای (Polynomial): مجموع جبری دو یا چند تکجمله.
4ضریب (Coefficient): عددی که در یک تکجمله، متغیر(ها) در آن ضرب شدهاند. در عبارت $5xy$، عدد ۵ ضریب است.
