جمله اول دنباله: شناسنامهٔ ریاضی دنبالهها
? خانهٔ شماره یک؛ اولین خانه در صف اعداد
فرض کن بچههای کلاس صف ایستادهاند. اولین نفر در صف «سارا» است. اگر اسم بچهها را به ترتیب بنویسی، سارا همان «جملهٔ اول» صف است. در ریاضی هم وقتی اعداد پشت سر هم میایستند به آنها «دنباله» میگوییم. اولین عدد این صف ریاضی را t1 مینویسیم؛ t مخفف «ترم» (جمله) و عدد 1 یعنی جایگاه اول.
✅ مثال ملموس در دنبالهٔ 3, 5, 7, 9, … عدد 3 اولین جمله است. یعنی t1 = 3. اگر سه تا سیب داری و هر بار دو تا اضافه میشود، سیبهای اولیه همان t1 هستند.
<!-- باکس نکته (فرمول ساده) -->? نقش t1 در دنبالهٔ حسابی و هندسی
در پایهٔ هفتم و هشتم با دو مدل دنباله مشهور آشنا میشویم: حسابی (تفاضل ثابت) و هندسی (نسبت ثابت). جملهٔ اول در هر دو مثل سنگ بنا میمانَد. بدون آن نمیتوانیم خانههای بعدی را بسازیم.
<!-- جدول ریسپانسیو: مقایسهٔ جمله اول در دو دنباله -->| نوع دنباله | جمله اول (نماد) | جمله nام (فرمول) | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| حسابی | t1 یا a1 | $t_n = t_1 + (n-1)d$ | t1=7 , d=3 → 7,10,13,… |
| هندسی | t1 یا g1 | $t_n = t_1 \times r^{\,n-1}$ | t1=2 , r=3 → 2,6,18,54,… |
✏️ تمرین ذهنی: اگر جملهٔ سوم یک دنبالهٔ حسابی 13 و جملهٔ پنجم 21 باشد، جملهٔ اول چند است؟ (راهنمایی: دو معادله بساز و t1 را پیدا کن.) پاسخ: 5.
<!-- ======== بخش سوم: سطح دبیرستان (دنباله های بازگشتی و فیبوناچی) ======== -->? جمله اول در رابطههای بازگشتی؛ داستان فیبوناچی
در دنبالههای بازگشتی، جملههای بعدی با استفاده از یک یا چند جملهٔ قبلی ساخته میشوند. مشهورترین نمونه، دنبالهٔ فیبوناچی است. جالب اینجا است که فیبوناچی جملهٔ اول و دوم را خودش تعریف کرده است.
اگر جملهٔ اول را عوض کنیم، کل دنباله تغییر میکند. مثلاً با t1=2 , t2=1 به دنبالهٔ لوکاس میرسیم.
مثال عملی فرض کن یک جفت خرگوش بالغ (t1) در ماه اول داریم. قانون فیبوناچی میگوید تعداد جفتها در ماههای بعد از جمع دو ماه قبل به دست میآید. جملهٔ اول اینجا به ما میگوید ماجرا از کجا شروع شده است.
<!-- ======== بخش چهارم: کاربرد عملی – پیدا کردن جمله اول از روی فرمول ======== -->? چگونه از فرمول دنباله، t1 را بیرون بکشیم؟
در کتابهای دهم و یازدهم فرمول کلی دنباله داده میشود؛ مثلاً $t_n = 3n + 1$. برای به دست آوردن جملهٔ اول کافی است به جای n عدد 1 قرار دهیم:
$t_1 = 3(1) + 1 = 4$. به همین سادگی! این کار برای همهٔ دنبالهها صدق میکند. حتی اگر فرمول شامل توان یا رادیکال باشد.
❓ اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
<!-- FAQ 1 -->بله، مگر اینکه صریحاً بگوید «چند جملهٔ ابتدایی دنباله به این صورت است». در مسائل معمولاً خود دنباله از t1 شروع میشود. اگر شک دارید، به فرمول جملهٔ عمومی نگاه کنید؛ با قرار دادن n=1 باید همان عدد اول را بدهد.
هیچ تفاوتی ندارند؛ هر دو قرارداد هستند. در کتابهای مختلف از نمادهای گوناگون (a1, t1, u1, x1) استفاده میشود. همه به معنای اولین جمله هستند.
متأسفانه همهٔ جوابهای بعدی غلط میشوند. مثل این است که آدرس خانه را اشتباه بنویسی؛ هر چه جلوتر بروی، بیشتر گم میشوی. به همین دلیل پیدا کردن t1 اولین گام حیاتی در مسائل دنباله است.
جملهٔ اول یا t1 پایه و اساس هر دنباله است. از دبستان که آن را به عنوان «عدد اول صف» میشناسیم تا دبیرستان که در فرمولهای بازگشتی نقش «شرط مرزی» را بازی میکند. با یک قانون ساده همیشه میتوانیم آن را پیدا کنیم: n=1 را در فرمول جانشین کن یا اولین عنصر نوشتهشده را بردار. به یاد داشته باش: اشتباه در t1 یعنی اشتباه در کل دنباله!
? پاورقی
[1] جمله (Term): به هر عضو از دنباله یک «جمله» میگویند. جمله اول (First Term).
[2] دنبالهٔ حسابی (Arithmetic Sequence): دنبالهای که اختلاف دو جملهٔ متوالی آن مقداری ثابت است.
[3] دنبالهٔ هندسی (Geometric Sequence): دنبالهای که نسبت دو جملهٔ متوالی آن مقداری ثابت است.
[4] رابطهٔ بازگشتی (Recursive Relation): قانونی که هر جمله را بر اساس جملههای ماقبل خود تعریف میکند.
[5] فیبوناچی (Fibonacci): ریاضیدان ایتالیایی که دنبالهٔ معروف خود را برای مدلسازی تولید مثل خرگوشها معرفی کرد.
