دقیقاً یکی: عضو اجتماعِ ?∪? ولی خارج از اشتراکِ ?∩?
? کلاس دومیها هم میفهمند: عضو اجتماع، نه عضو اشتراک
فرض کنید کیفِ نقاشیِ شما دو محفظه دارد. محفظهی سمت راست را مجموعهی ? مینامیم و محفظهی سمت چپ را مجموعهی ?. اگر یک مداد قرمز را در هر دو محفظه بگذاریم، آن مداد هم در ? است، هم در ? – این یعنی عضو اشتراک[1] است. اما اگر مداد آبی را فقط در محفظهی راست بگذاریم و در محفظهی چپ نباشد، آن مداد عضوی از اجتماع ?∪? است (چون دستکم در یکی هست) ولی عضو ?∩? نیست. به این عضو میگوییم «دقیقاً یکی»؛ یعنی فقط در یکی از دو مجموعه جای دارد، نه در هر دوی آنها.
برای دانشآموز کلاس دومی کافی است بداند: هر جا شکلاتی باشد که فقط در جعبهی علی است یا فقط در جعبهی سارا، آن شکلات «دقیقاً یکی» است. مثال عینی: در حیاط مدرسه، بچههایی که فقط فوتبال بازی میکنند یا فقط والیبال، ولی نه هر دو. این بچهها همان «دقیقاً یکی» هستند. به ریاضی به این مجموعه میگوییم تفاضل متقارن که با نماد $A \bigtriangleup B$ نشان میدهیم.
<!-- باکس نکته: فرمول پایه -->$A \bigtriangleup B = (A \cup B) \;-\; (A \cap B)$
یا به زبان ساده: اعضای اجتماع، منهای اعضای مشترک.
? چهار حالت عضویت، فقط یک حالت مطلوب ماست
وقتی نگاه میکنیم که یک عضو نسبت به دو مجموعهی ? و ? چه وضعیتی دارد، دقیقاً چهار حالت ممکن است. ما فقط به حالتهایی علاقه داریم که عضو دقیقاً در یکی از مجموعهها حضور داشته باشد. جدول زیر را با هم مرور میکنیم؛ خیلی زود متوجه میشوید که چرا رنگ سبز فقط برای «دقیقاً یکی» است.
| در ?؟ | در ?؟ | عضو اجتماع (?∪?)؟ | عضو اشتراک (?∩?)؟ | دقیقاً یکی؟ |
|---|---|---|---|---|
| بله | خیر | بله | خیر | ✅ دقیقاً یکی |
| خیر | بله | بله | خیر | ✅ دقیقاً یکی |
| بله | بله | بله | بله | ❌ نه |
| خیر | خیر | خیر | خیر | ❌ نه |
میبینید؟ فقط وقتی عضو دقیقاً در یکی هست که یک «بله» و یک «خیر» داشته باشیم. این همان مفهوم تفاضل متقارن است.
<!-- H3 سوم: کاربرد عملی و مثال عینی (دبیرستانی) -->? آزمایش در کلاس ریاضی: کدام دانشآموز فقط یک زبان خارجی میخواند؟
در مدرسهای فرضی، کلاس هشتمیها را بررسی میکنیم. مجموعهی ? شامل دانشآموزانی است که زبان انگلیسی و مجموعهی ? شامل دانشآموزانی که زبان فرانسه میخوانند. میخواهیم بدانیم چه کسانی دقیقاً یکی از این دو زبان را میخوانند (یعنی یا فقط انگلیسی، یا فقط فرانسه). آمار کلاس:
- علی، سارا، رضا: انگلیسی (?)
- رضا، نازنین، امیر: فرانسه (?)
- محمد، لیلا: هیچکدام
ابتدا اجتماع را میسازیم: $\{علی، سارا، رضا، نازنین، امیر\}$
اشتراک فقط $\{رضا\}$ است. حالا با فرمول تفاضل متقارن:
پس ۴ نفر دقیقاً یکی از دو زبان را میخوانند. این روش در آمار، علوم کامپیوتر و حتی نظرسنجیها کاربرد دارد.
<!-- H3 چهارم: اشتباهات رایج و پرسشهای مهم (FAQ) -->❓ اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
خیر؛ تفاضل ?−? فقط عضوهایی را میگیرد که در ? هستند ولی در ? نیستند. اما «دقیقاً یکی» هم شامل ?−? میشود و هم ?−?. پس تفاضل متقارن مجموعهی بزرگتری است. فرمول کامل: $A \bigtriangleup B = (A - B) \cup (B - A)$
بله، اصلاً مهم نیست عضو چه نوع چیزی باشد؛ عدد، اسم، میوه، هرچه. اگر در دو مجموعهی ? و ? بررسی کنیم و عضو فقط در یکی از آنها باشد، جزو تفاضل متقارن است. مثال: $A=\{0,1,2\}, B=\{2,3,4\} \Rightarrow A \bigtriangleup B = \{0,1,3,4\}$
بیشترین اشتباه این است که دانشآموز فکر کند «دقیقاً یکی» یعنی فقط ?−?. برای جلوگیری، همیشه چک کنید که عضو در ?−? هم ممکن است باشد. روش پیشنهادی: اول همهی اعضای ?∪? را فهرست کنید، بعد اعضای مشترک ?∩? را بردارید. آنچه میماند «دقیقاً یکی» است.
? نمایش جبری و ویژگیهای تفاضل متقارن
تفاضل متقارن در جبر مجموعهها مثل جمع در جبر اعداد است. ویژگیهای جالبی دارد که در المپیاد و ریاضیات گسسته به کار میآید. چند ویژگی مهم:
- خاصیت جابهجایی: $A \bigtriangleup B = B \bigtriangleup A$
- خاصیت شرکتپذیری: $(A \bigtriangleup B) \bigtriangleup C = A \bigtriangleup (B \bigtriangleup C)$
- عضو خنثی: $A \bigtriangleup \varnothing = A$ (مجموعهی تهی)
- وارون: $A \bigtriangleup A = \varnothing$
این ویژگیها شبیه رفتار جمع در اعداد صحیح است. حتی میتوان تفاضل متقارن را با استفاده از اجتماع و اشتراک هم نوشت: $A \bigtriangleup B = (A \cup B) \cap (A^c \cup B^c)$
<!-- جمعبندی -->«دقیقاً یکی» یعنی عضوهایی که در اجتماع دو مجموعه هستند ولی عضو اشتراک نیستند. این مفهوم با نام تفاضل متقارن شناخته میشود و نماد آن $\bigtriangleup$ است. از دبستان تا دبیرستان میتوان آن را با مثالهای رنگآمیزی، زبانهای خارجی یا اعداد صحیح آموزش داد. فرمول کلیدی: $A \bigtriangleup B = (A \cup B) \setminus (A \cap B)$
? پاورقی
[1]اشتراک (Intersection): مجموعهی اعضایی که هم در ? و هم در ? هستند.
[2]اجتماع (Union): مجموعهی اعضایی که دستکم در یکی از ? یا ? باشند.
[3]تفاضل متقارن (Symmetric difference): اعضایی که دقیقاً در یکی از دو مجموعه هستند.
[4]مجموعهی تهی (Empty set): مجموعهای که هیچ عضوی ندارد و با $\varnothing$ نشان داده میشود.
