بازه باز: شناسنامهٔ دقیق فاصلههای بینقطه
? تقسیمبندی پایه: سه نگاه به بازههای باز
آسانگیر نیمهحرفهای حرفهای (دبیرستان)
? نگاه اول – بازه باز یعنی تهتهاش خالی است! تصور کنید یک بستهی شکلات داریم که دو سر بسته کاملاً باز است و شکلاتهای داخل فقط از عدد 2 تا 5 چیده شدهاند، ولی خود شکلات شماره 2 و شکلات شماره 5 داخل بسته نیستند. این یک بازهٔ باز است. یعنی فقط شکلاتهای 2/1، 3، 4 و 8/4 را میشود برداشت؛ اما عدد 2 و 5 هرگز قابل دسترس نیستند. این همان $ ( 2 , 5 ) $ است.
? نگاه دوم – نیمهباز، نیمهبسته: گاهی یک سر باز و سر دیگر بسته است. مثلاً $ [ 0 , 3 ) $ یعنی صفر عضو است (بسته) اما 3 عضو نیست (باز). اینجا بازهٔ محض نیست ولی درکش کمک میکند باز بودن یعنی نقطه حذف شود.
? نگاه سوم – بازه باز روی محور: روی محور اعداد نقطههای a و b را با ○ (دایره توخالی) نشان میدهیم. همهٔ نقاط بینشان پر است، ولی خود a و b با دایرهٔ سفید مشخص میشوند تا بگوییم «اینجا عضو نیست».
| نام بازه | نماد ریاضی | عضویت نقاط a , b | مثال عددی |
|---|---|---|---|
| بسته | $[a,b]$ | هر دو عضو | $[1,4]$ |
| باز | $(a,b)$ | هیچکدام عضو نیست | $(1,4)$ |
| نیمهباز (چپبسته) | $[a,b)$ | فقط a عضو است | $[1,4)$ |
| نیمهباز (راستبسته) | $(a,b]$ | فقط b عضو است | $(1,4]$ |
? کاربرد عینی: بازههای باز در ترازو، دما و نمرات
تصور کنید آزمون ورودی باشگاه شطرنج، نمرهی قبولی 14 است. اگر بگویند «نمرات بالاتر از 14 پذیرفته میشوند» یعنی $ ( 14 , 20 ] $، چون 14 دقیقاً عضو نیست. دقت کنید خود عدد 14 مردود محسوب میشود. یا در دستور پخت کیک گفته شود «دمای فر بین 170 و 180 درجه» اگر دماسنج دیجیتال 170.0 را نشان دهد یعنی دقیقاً روی مرز است؛ اگر دستور با بازه باز نوشته شده باشد $ ( 170 , 180 ) $، آن دمای مرزی مجاز نیست.
? مثال پزشکی تب خفیف: دمای بالاتر از 37/2 و پایینتر از 38. اگر دمای بدن دقیقاً 37/2 باشد، تب محسوب نمیشود. بنابراین بازهٔ تب خفیف $ ( 37/2 , 38 ) $ است.
⚠️ اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
❓ چرا گاهی توی کتاب مینویسند $ ]a,b[ $ ؟
این یک نماد قدیمیتر (عمدتاً در کتابهای فرانسوی و بعضی منابع اروپایی) است که همان بازه باز را نشان میدهد. در نظام آموزشی ایران پرانتز رایجتر است. پس اگر $ ]2,5[ $ دیدید، همان $ (2,5) $ است.
❓ آیا اعداد اعشاری هم شامل بازهٔ باز میشوند؟
بله. بازهٔ باز مجموعهای از همهٔ اعداد حقیقی میان a و b است؛ یعنی کسر، اعشار، گنگ، هرچه که بینشان باشد. مثلاً در $ (1,2) $ عدد 1/5، 1/3333، √2 و 1/999 عضو هستند. فقط خود 1 و 2 عضو نیستند.
❓ اگر a مساوی b باشد، بازه $ (a,a) $ چه میشود؟
این بازه هیچ عضوی ندارد. چون باید عددی بزرگتر از a و کوچکتر از a باشد که ممکن نیست. به این مجموعه «بازه تهی» میگویند و آن را با $\varnothing$ نشان میدهند.
❓ چطور بازه باز را روی صفحه اعداد مختصات رسم کنیم؟
روی محور x یک خط کلفت بین a و b میکشیم، روی نقطه a و b دایرهٔ توخالی (○) میگذاریم. در دستگاه مختصات، اگر دامنه تابع بازه باز باشد، خود تابع روی مرزها رسم نمیشود (نقطه سفید).
? سطح دبیرستان: بازه باز در نامعادلات و قدر مطلق
وقتی نامعادله به صورت $ |x| < 3 $ باشد، جواب $ ( -3 , 3 ) $ میشود. اگر $ |x| \le 3 $ بود، جواب بسته $ [ -3 , 3 ] $ بود. همین تفاوت کوچک، در دامنهٔ تابع لگاریتم هم دیده میشود: $ \log (x) $ فقط برای $ x > 0 $ تعریف شده است، یعنی دامنه $ ( 0 , + \infty ) $ است و صفر هرگز عضو دامنه نیست.
| پایه تحصیلی | مفهوم مرتبط | نمونه بازه باز |
|---|---|---|
| هفتم | اعداد صحیح بین دو عدد | $ ( -2 , 3 ) $ |
| نهم | نامعادلات ساده | $ x > 4 \rightarrow (4,+\infty)$ |
| دهم | دامنه توابع رادیکالی | $ \sqrt{x-2} \rightarrow [2,+\infty)$ (بسته) |
| یازدهم | حد و پیوستگی | $ \lim_{x \to a} $ (خود a مهم نیست) |
| دوازدهم | بازههای اطمینان آمار | $ (\bar{x}-1/96\sigma , \bar{x}+1/96\sigma)$ |
? پاورقی
[2] بازه بسته: Closed Interval – فاصلهای که هر دو سر آن عضو است.
[3] بازه نیمهباز: Half‑open / Half‑closed Interval – فقط یکی از نقاط انتهایی عضو است.
[4] بینهایت: Infinity – نماد $\infty$ که عدد نیست و همیشه با بازه باز همراه است.
