مثلثات: راهی به سوی اندازهگیریهای نامرئی
مثلث قائمالزاویه: قلب تپندهٔ مثلثات
همه چیز از یک مثلث خاص شروع میشود: مثلثی که یکی از زاویههایش دقیقاً ۹۰ درجه است. به این مثلث، «مثلث قائمالزاویه» (Right-Angled Triangle) میگویند . اضلاع این مثلث نامهای ویژهای دارند: دو ضلعی که زاویهٔ قائمه را تشکیل میدهند، «ساق» (Leg) نامیده میشوند و ضلع روبهروی زاویهٔ قائمه که بلندترین ضلع مثلث است، «وتر» (Hypotenuse) نام دارد . در هر مثلث قائمالزاویه، رابطهٔ معروف فیثاغورس برقرار است: مربع وتر برابر است با مجموع مربعات دو ساق. اگر وتر را با $c$ و ساقها را با $a$ و $b$ نشان دهیم، خواهیم داشت:
اما نقطهٔ عطف در مثلثات، تعریف «نسبتهای مثلثاتی» است. برای یک زاویۀ حادّۀ $\theta$ در مثلث قائمالزاویه، سه نسبت اصلی به این صورت تعریف میشوند :
| نسبت مثلثاتی | نماد | تعریف (برحسب اضلاع) |
|---|---|---|
| سینوس | $\sin \theta$ | $\frac{\text{ضلع مقابل به }\theta}{\text{وتر}}$ |
| کسینوس | $\cos \theta$ | $\frac{\text{ضلع مجاور به }\theta}{\text{وتر}}$ |
| تانژانت | $\tan \theta$ | $\frac{\text{ضلع مقابل به }\theta}{\text{ضلع مجاور به }\theta}$ |
دایرهٔ مثلثاتی و نسبتهای زوایای ویژه
برای درک بهتر مثلثات، دایرهای به شعاع ۱ را در نظر میگیریم که مرکز آن روی مبدأ مختصات قرار دارد. این دایره، «دایرهٔ مثلثاتی» (Unit Circle) نام دارد . هر زاویه مانند $\theta$ را میتوان روی این دایره نشان داد. مختصات نقطهای که ضلع پایانی زاویه، دایره را قطع میکند، برابر $(\cos \theta, \sin \theta)$ است . با کمک این دایره، میتوان مقادیر دقیق نسبتهای مثلثاتی را برای برخی زوایای پرکاربرد (زاویههای ویژه) به دست آورد .
| زاویه ($\theta$) | $\sin \theta$ | $\cos \theta$ | $\tan \theta$ |
|---|---|---|---|
| $0^\circ$ | $0$ | $1$ | $0$ |
| $30^\circ$ | $\frac{1}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{\sqrt{3}}{3}$ |
| $45^\circ$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $\frac{\sqrt{2}}{2}$ | $1$ |
| $60^\circ$ | $\frac{\sqrt{3}}{2}$ | $\frac{1}{2}$ | $\sqrt{3}$ |
| $90^\circ$ | $1$ | $0$ | تعریفنشده |
یک نکتهٔ مفید: اگر دو زاویه با هم متمم باشند (مجموعشان $90^\circ$ شود)، سینوس هر یک برابر کسینوس دیگری است. مثلاً $\sin 30^\circ = \cos 60^\circ$ .
کاربرد عملی: محاسبهٔ ارتفاع یک ساختمان
فرض کنید میخواهیم ارتفاع یک ساختمان را بدون اینکه مستقیماً آن را اندازهگیری کنیم، به دست آوریم. در فاصلهٔ ۳۰ متری از ساختمان میایستیم و با استفاده از یک دستگاه زاویهیاب، زاویهٔ بین خط افق و خطی که به بالای ساختمان میرود را اندازه میگیریم. این زاویه $40^\circ$ است. حالا یک مثلث قائمالزاویه تشکیل شده است که فاصلهٔ ما از ساختمان (ضلع مجاور زاویه) و ارتفاع ساختمان (ضلع مقابل زاویه) ساقهای آن هستند. با استفاده از تانژانت زاویه میتوانیم ارتفاع را پیدا کنیم :
با استفاده از ماشین حساب، $\tan 40^\circ \approx 0.8391$ است، بنابراین ارتفاع ساختمان حدود ۲۵/۱۷ متر خواهد بود.
قوانین جهانی برای هر مثلثی
نسبتهای مثلثاتی فقط به مثلث قائمالزاویه محدود نیستند. دو قانون مهم، این نسبتها را به هر مثلث دلخواهی تعمیم میدهند.
قانون سینوسها[1]: در هر مثلث، نسبت طول هر ضلع به سینوس زاویۀ مقابلش مقداری ثابت و برابر با قطر دایرهٔ محیطی مثلث است .
قانون کسینوسها[2]: این قانون که تعمیم یافتهٔ قضیهٔ فیثاغورس به تمام مثلثهاست، رابطهای بین طول اضلاع و کسینوس یکی از زاویهها برقرار میکند .
برای روشنتر شدن تفاوت کاربرد این دو قانون، جدول زیر را ببینید:
| قانون | کاربرد اصلی | اطلاعات مورد نیاز |
|---|---|---|
| قانون سینوسها | محاسبه اضلاع یا زوایای مجهول در مثلثهای غیرقائمالزاویه | دو زاویه و یک ضلع (حالت AAS یا ASA)، یا دو ضلع و زاویهٔ غیر بین (حالت SSA) |
| قانون کسینوسها | محاسبه ضلع سوم با داشتن دو ضلع و زاویهٔ بین (حالت SAS)، یا یافتن زاویهها با داشتن هر سه ضلع (حالت SSS) | دو ضلع و زاویهٔ بین آنها، یا هر سه ضلع |
چالشهای مفهومی
❓ چرا در یک مثلث قائمالزاویه، سینوس یک زاویه هرگز نمیتواند بزرگتر از ۱ باشد؟
طبق تعریف، سینوس یک زاویه در مثلث قائمالزاویه برابر است با نسبت ضلع مقابل به وتر. در هر مثلث قائمالزاویه، وتر بزرگترین ضلع است، بنابراین ضلع مقابل همواره از وتر کوچکتر (یا در حالت حدی برای زاویه $90^\circ$ برابر) است. در نتیجه، نسبت یک عدد کوچکتر به یک عدد بزرگتر همواره مقداری بین ۰ و ۱ خواهد بود.
❓ اگر فقط اندازه دو ضلع یک مثلث غیرقائمالزاویه را بدانیم، آیا میتوانیم زاویهٔ بین آنها را پیدا کنیم؟
خیر، با داشتن تنها دو ضلع، اطّلاعات کافی برای تعیین یکتای مثلث وجود ندارد و بینهایت مثلث با این دو ضلع میتوان رسم کرد که زاویهٔ بین آنها متفاوت است. برای پیدا کردن زاویه، به اطّلاعات بیشتری مانند ضلع سوم (استفاده از قانون کسینوسها) یا یک زاویۀ دیگر (استفاده از قانون سینوسها) نیاز داریم .
❓ چرا در قانون سینوسها گاهی به دو جواب متفاوت برای یک زاویه میرسیم؟
این حالت که به «حالت مبهم» (Ambiguous Case) معروف است، وقتی رخ میدهد که با دو ضلع و زاویهٔ غیربین (SSA) سروکار داریم. در این حالت، ممکن است دو مثلث متفاوت با اطّلاعات داده شده وجود داشته باشد: یکی با زاویۀ حادّۀ $B$ و دیگری با زاویۀ منفرجۀ $180^\circ - B$. برای تعیین جواب درست، باید به مجموع زوایا و شرایط هندسی مثلث دقّت کرد .
پاورقیها
1قانون سینوسها (Law of Sines): اصلی در مثلثات که بیان میکند نسبت طول هر ضلع از یک مثلث به سینوس زاویۀ مقابل آن ضلع، برای تمام اضلاع مقدار ثابتی است. این قانون برای حل مثلثهای غیرقائمالزاویه کاربرد اساسی دارد .
2قانون کسینوسها (Law of Cosines): تعمیمیافتۀ قضیۀ فیثاغورس برای تمام مثلثها. این قانون رابطۀ بین طول سه ضلع یک مثلث و کسینوس یکی از زاویههای آن را نشان میدهد و برای محاسبۀ ضلع سوم یک مثلث با داشتن دو ضلع و زاویۀ بین آنها به کار میرود .
