نسبتهای مثلثاتی: سینوس، کسینوس، تانژانت و کتانژانت در مثلث قائمالزاویه
۱. تعریف اضلاع در مثلث قائمالزاویه
هر مثلث قائمالزاویه از سه ضلع تشکیل شده است: وتر (ضلع روبروی زاویهٔ ۹۰ درجه)، ضلع مقابل (ضلع روبروی زاویهٔ حادهٔ مورد نظر) و ضلع مجاور (ضلع چسبیده به زاویهٔ حاده). برای مثال، در مثلثی با زاویهٔ حادهٔ θ (تتا)$^{1}$، اضلاع به این صورت نامگذاری میشوند:
- ضلع مقابل روبروی زاویهٔ θ قرار دارد.
- ضلع مجاور یکی از دو ضلع زاویهٔ θ است (به جز وتر).
- وتر بلندترین ضلع مثلث و روبروی زاویهٔ قائمه است.
۲. نسبتهای مثلثاتی اصلی
نسبتهای مثلثاتی برای یک زاویهٔ حاده در مثلث قائمالزاویه به صورت زیر تعریف میشوند. این تعاریف پایه و اساس تمام محاسبات بعدی هستند.
$\cos(\theta) = \frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{وتر}}$
$\tan(\theta) = \frac{\text{ضلع مقابل}}{\text{ضلع مجاور}}$
$\cot(\theta) = \frac{\text{ضلع مجاور}}{\text{ضلع مقابل}}$
برای به خاطر سپردن این نسبتها میتوان از کلیدواژههای ساده استفاده کرد: سینوس برابر است با مقابل بر وتر، کسینوس مجاور بر وتر، تانژانت مقابل بر مجاور و کتانژانت عکس تانژانت است.
۳. مقایسه نسبتهای مثلثاتی در یک نگاه
| نام نسبت | فرمول | مثال (زاویهٔ ۳۰ درجه) |
|---|---|---|
| سینوس | $\sin = \frac{\text{مقابل}}{\text{وتر}}$ | $\sin 30^{\circ}=0.5$ |
| کسینوس | $\cos = \frac{\text{مجاور}}{\text{وتر}}$ | $\cos 30^{\circ}\approx 0.866$ |
| تانژانت | $\tan = \frac{\text{مقابل}}{\text{مجاور}}$ | $\tan 30^{\circ}\approx 0.577$ |
| کتانژانت | $\cot = \frac{\text{مجاور}}{\text{مقابل}}$ | $\cot 30^{\circ}\approx 1.732$ |
۴. رابطه بین زاویههای متمم (مکمل)
در یک مثلث قائمالزاویه، دو زاویهٔ حاده با هم متمم هستند (مجموعشان ۹۰ درجه است). رابطهٔ جالبی بین نسبتهای مثلثاتی این دو زاویه وجود دارد: سینوس یک زاویه برابر با کسینوس زاویهٔ متمم آن است. به طور مشابه، تانژانت یک زاویه با کتانژانت زاویهٔ متمم برابر میشود.
$\tan(\theta) = \cot(90^{\circ} - \theta)$
کاربرد عملی: فرض کنید میخواهید ارتفاع یک تیر برق را بدون اندازهگیری مستقیم به دست آورید. در فاصلهٔ $20$ متری از پایهٔ تیر بایستید و زاویهٔ بین خط افق و خط دید خود به نوک تیر را $40^{\circ}$ اندازه میگیرید. با استفاده از تانژانت این زاویه (که نسبت ارتفاع به فاصله است) میتوانید ارتفاع را محاسبه کنید: $\tan 40^{\circ} \approx 0.839$، بنابراین ارتفاع برابر $20 \times 0.839 = 16.78$ متر خواهد بود.
۵. چالشهای مفهومی
۱. چرا با بزرگتر شدن زاویهٔ حاده، سینوس افزایش ولی کسینوس کاهش مییابد؟
در مثلث قائمالزاویه با وتر ثابت، اگر زاویه بزرگتر شود، ضلع مقابل بلندتر و ضلع مجاور کوتاهتر میشود. از آنجا که سینوس نسبت ضلع مقابل به وتر است، افزایش مییابد و کسینوس که نسبت ضلع مجاور به وتر است، کاهش پیدا میکند.
۲. آیا تانژانت یک زاویه میتواند بیشتر از یک شود؟
بله. تانژانت نسبت ضلع مقابل به مجاور است. اگر ضلع مقابل از مجاور بزرگتر باشد (یعنی زاویه بیش از ۴۵ درجه)، تانژانت بزرگتر از یک خواهد شد. برای زاویهٔ ۶۰ درجه، تانژانت تقریباً $1.732$ است.
۳. رابطهٔ کتانژانت با تانژانت چیست؟
کتانژانت دقیقاً معکوس تانژانت است. یعنی $\cot(\theta) = \frac{1}{\tan(\theta)}$. اگر تانژانت کوچک باشد، کتانژانت بزرگ خواهد بود و بالعکس. به همین دلیل در زاویههای نزدیک به صفر، تانژانت به صفر میل میکند و کتانژانت بسیار بزرگ میشود.
پاورقیها
1 تتا (θ) یک حرف یونانی است که معمولاً برای نمایش زاویهٔ مجهول در ریاضیات به کار میرود. معادل انگلیسی آن Theta است.
2 سینوس (Sinus) به معنی خمیدگی یا شکاف، کسینوس (Cosinus) مکمل سینوس، تانژانت (Tangente) به معنی خط مماس و کتانژانت (Cotangente) مکمل تانژانت هستند. این واژهها ریشه در ریاضیات عربی و اروپایی دارند.