عمودمنصف: خطی که بر پارهخط عمود است و از وسط آن میگذرد
کشف ویژگیهای منحصربهفرد عمودمنصف، از تعریف و رسم تا کاربرد در مثلثها و فاصلهٔ نقاط
در این مقاله با یکی از پایهایترین مفاهیم هندسه یعنی عمودمنصف آشنا میشویم. پس از بیان تعریف دقیق، روش رسم با پرگار و خطکش را گام به گام میآموزیم. مهمترین ویژگی عمودمنصف یعنی فاصلهٔ یکسان نقاط آن از دو سر پارهخط را بررسی کرده و کاربردهای آن را در رسم دایره و مثلثها (مرکز دایرهٔ محیطی) دنبال میکنیم. با حل مثالهای عددی و چالشهای مفهومی، درک عمیقتری از این موضوع پیدا خواهید کرد.
تعریف عمودمنصف و نمادگذاری
عمودمنصف خطی است که یک پارهخط را به دو قسمت مساوی تقسیم کرده و بر آن عمود است. به عبارت دیگر، اگر پارهخطی به نام $AB$ داشته باشیم، عمودمنصف آن خطی است که از نقطهٔ $M$ (میانگین دو سر پارهخط) عبور کرده و با $AB$ زاویهٔ $90^{\circ}$ میسازد. این خط را معمولاً با نماد $\ell$ یا با اشاره به دو سر پارهخط، مثلاً عمودمنصف $AB$، نشان میدهند. توجه کنید که عمودمنصف نیمخط یا پارهخط نیست، بلکه یک خط راست نامتناهی است.رسم گامبهگام با پرگار و خطکش (بدون اندازهگیری)
برای رسم عمودمنصف یک پارهخط، نیازی به خطکش مدرج نداریم و تنها با پرگار و خطکش ساده (بدون مدرج) میتوان این کار را انجام داد. فرض کنید پارهخط $AB$ داده شده است:- گام ۱ دهانهٔ پرگار را کمی بیشتر از نصف طول $AB$ باز کنید.
- گام ۲ نوک پرگار را روی نقطهٔ $A$ قرار داده و کمانی بزنید (بالا و پایین خط).
- گام ۳ بدون تغییر دادن دهانهٔ پرگار، نوک آن را روی نقطهٔ $B$ گذاشته و دو کمان دیگر بزنید تا کمانهای قبلی را قطع کنند.
- گام ۴ محل برخورد کمانها را در بالا و پایین بهترتیب $P$ و $Q$ بنامید.
- گام ۵ به کمک خطکش، خطی از $P$ به $Q$ رسم کنید. این خط همان عمودمنصف پارهخط $AB$ است.
ویژگی کلیدی: فاصلهٔ یکسان نقاط عمودمنصف
مهمترین ویژگی عمودمنصف این است: هر نقطه روی عمودمنصف یک پارهخط، از دو سر آن پارهخط فاصلهٔ مساوی دارد. یعنی اگر نقطهٔ $P$ روی عمودمنصف $AB$ باشد، آنگاه $PA = PB$. عکس این قضیه نیز برقرار است: هر نقطهای که از دو سر یک پارهخط به یک فاصله باشد، روی عمودمنصف آن قرار دارد.
مثال عددی: پارهخط $AB$ به طول $10$ سانتیمتر در نظر بگیرید. نقطهٔ $M$ وسط آن است. نقطهٔ $P$ روی عمودمنصف در فاصلهٔ $6$ سانتیمتری از $M$ قرار دارد. با توجه به ویژگی عمودمنصف، $PA = PB$. با استفاده از قضیهٔ فیثاغورس در مثلث قائمالزاویهٔ $PMA$ داریم: $PA^{2} = PM^{2} + AM^{2} = 6^{2} + 5^{2} = 36 + 25 = 61$. بنابراین $PA = PB = \sqrt{61} \approx 7.81$ سانتیمتر.
| موقعیت نقطه نسبت به پارهخط $AB$ | ویژگی فاصله از دو سر | مثال مختصات ($A(-2,0), B(2,0)$) |
|---|---|---|
| روی عمودمنصف (محور $y$ها) | فاصلهها مساویاند | $P(0,3): PA = PB = 5$ |
| خارج از عمودمنصف | فاصلهها نابرابرند | $Q(1,2): QA = \sqrt{13} \approx 3.61, QB = \sqrt{5} \approx 2.24$ |
کاربرد در مثلثها: مرکز دایرهٔ محیطی
یکی از مهمترین کاربردهای عمودمنصف در هندسه مثلث، یافتن مرکز دایرهٔ محیطی1 است. دایرهٔ محیطی مثلث، دایرهای است که از هر سه رأس مثلث میگذرد. برای پیدا کردن مرکز این دایره، کافی است عمودمنصف دو ضلع از مثلث را رسم کنیم. محل برخورد این دو عمودمنصف، مرکز دایرهٔ محیطی است. چرا؟ زیرا مرکز دایره باید از هر سه رأس فاصلهٔ یکسان داشته باشد (شعاع دایره). پس نقطهٔ برخورد دو عمودمنصف، هم روی عمودمنصف ضلع اول (در نتیجه فاصلهٔ یکسان از دو سر آن ضلع) و هم روی عمودمنصف ضلع دوم (در نتیجه فاصلهٔ یکسان از دو سر ضلع دوم) قرار دارد. بنابراین از هر سه رأس فاصلهٔ یکسان خواهد داشت.
مثال عینی: در یک نقشهکشی، سه روستای $A, B, C$ وجود دارد. میخواهیم یک دکل مخابراتی در مکانی بنا کنیم که فاصلهٔ آن تا هر سه روستا برابر باشد. کافی است روی نقشه، مثلث $ABC$ را تشکیل دهیم و عمودمنصف دو ضلع مثلاً $AB$ و $BC$ را رسم کنیم. نقطهٔ برخورد این دو عمودمنصف، مکان مناسب برای احداث دکل خواهد بود.
چالشهای مفهومی
❓ چالش ۱: آیا عمودمنصف یک پارهخط میتواند با خود آن پارهخط موازی باشد؟
پاسخ: خیر. طبق تعریف، عمودمنصف بر پارهخط عمود است. اگر دو خط بر هم عمود باشند، زاویهٔ $90^{\circ}$ میسازند و هرگز موازی نخواهند بود.
پاسخ: خیر. طبق تعریف، عمودمنصف بر پارهخط عمود است. اگر دو خط بر هم عمود باشند، زاویهٔ $90^{\circ}$ میسازند و هرگز موازی نخواهند بود.
❓ چالش ۲: اگر مثلث قائمالزاویه باشد، مرکز دایرهٔ محیطی کجا قرار میگیرد؟
پاسخ: در مثلث قائمالزاویه، مرکز دایرهٔ محیطی دقیقاً روی وسط وتر قرار دارد. زیرا وتر بزرگترین ضلع است و عمودمنصفهای دو ضلع دیگر در نقطهای برخورد میکنند که از هر سه رأس فاصلهٔ یکسان دارد. میتوان نشان داد این نقطه همان وسط وتر است.
پاسخ: در مثلث قائمالزاویه، مرکز دایرهٔ محیطی دقیقاً روی وسط وتر قرار دارد. زیرا وتر بزرگترین ضلع است و عمودمنصفهای دو ضلع دیگر در نقطهای برخورد میکنند که از هر سه رأس فاصلهٔ یکسان دارد. میتوان نشان داد این نقطه همان وسط وتر است.
❓ چالش ۳: آیا عمودمنصف یک پارهخط، آن را به دو نیمخط مساوی تقسیم میکند؟
پاسخ: خیر. عمودمنصف یک خط راست است و از وسط پارهخط میگذرد، اما خود پارهخط را به دو پارهخط مساوی (نیمخط نیستند) تقسیم میکند. منظور از «نیمخط» قسمتی از خط است که از یک نقطه شروع شده و تا بینهایت ادامه دارد. در حالی که پارهخط $AB$ در دو طرف محدود است.
پاسخ: خیر. عمودمنصف یک خط راست است و از وسط پارهخط میگذرد، اما خود پارهخط را به دو پارهخط مساوی (نیمخط نیستند) تقسیم میکند. منظور از «نیمخط» قسمتی از خط است که از یک نقطه شروع شده و تا بینهایت ادامه دارد. در حالی که پارهخط $AB$ در دو طرف محدود است.
در این مقاله با مفهوم عمودمنصف به عنوان خطی عمود بر پارهخط که از وسط آن میگذرد آشنا شدیم. روش دقیق رسم آن با پرگار و خطکش را مرور کردیم. مهمترین ویژگی آن یعنی برابری فاصلهٔ تمام نقاطش از دو سر پارهخط، پایه و اساس کاربردهای فراوان آن در هندسه است. از جملهٔ این کاربردها، پیدا کردن مرکز دایرهای است که از سه نقطهٔ غیرهمخط (رئوس مثلث) میگذرد. درک این ویژگی و کاربردهای آن، بینش عمیقتری در حل مسائل هندسی به شما میدهد.
پاورقی
- 1دایرهٔ محیطی (Circumcircle): دایرهای است که از تمام رئوس یک چندضلعی (مانند مثلث) عبور میکند. مرکز آن را با برخورد عمودمنصفهای اضلاع به دست میآورند.