$x=1$ مجانب قائم تابع است، پس $x=1$ ریشهٔ مخرج است:

$1-a-3=0\Rightarrow a=-2$

با توجه به این‌که $a=-2$، تابع $f(x)$ به‌صورت روبه‌رو است:

$f(x)=\frac{b{{x}^{2}}+4}{{{x}^{2}}+2x-3}=\frac{b{{x}^{2}}+4}{(x-1)(x+3)}$

مخرج ريشۀ ديگری هم دارد. برای آنكه ريشۀ ديگر مجانب قائم تابع نباشد، بايد ريشۀ صورت شود (زيرا طبق صورت سؤال، تابع فقط يک مجانب قائم دارد)، پس $x=-3$ ريشۀ صورت است: 

$b{{(-3)}^{2}}+4=0\Rightarrow b=-\frac{4}{9}$

$f(x)=\frac{-\frac{4}{9}{{x}^{2}}+4}{(x-1)(x+3)}=\frac{-\frac{4}{9}(x+3)(x-3)}{(x-1)(x+3)}\Rightarrow f(x)=\frac{-\frac{4}{9}(x-3)}{x-1}$

حال محل تلاقی مجانب‌ها را يافته و فاصلۀ آن را از مبدأ مختصات به‌دست می‌آوريم: 

$\left\{ \begin{matrix} y=-\frac{4}{9}  \\ x=1  \\ \end{matrix} \right.\Rightarrow A(1,-\frac{4}{9})\Rightarrow OA=\sqrt{1+\frac{16}{81}}= \frac{\sqrt{97}}{9}$

صفحه‌های ۵۵ و ۶۷ حسابان ۲