میدانیم مضارب $2\pi $ برای $sin$ و $cos$ حذف میشوند، پس:
$\sin (\frac{5\pi }{2}+x)=\sin (\frac{\pi }{2}+x)$
بنابراین:
$\sqrt{2}\sin (\frac{\pi }{4}-x)=1+\sin (\frac{\pi }{2}+x)$
سمت چپ را بسط میدهیم:
$\sqrt{2}(\sin \frac{\pi }{4}\cos x-\cos \frac{\pi }{4}\sin x)=2+\sin (\frac{\pi }{2}+x)$
$\cos x-\sin x=1+\cos x\Rightarrow \sin x=-1\Rightarrow x=2k\pi -\frac{\pi }{2}$