مختصات دو نقطه روی خط خط $y=13-x$ با طول‌های 2 و 8 را پیدا می‌کنیم:
$y=13-x\xrightarrow{x=2}y=13-2=11$
نقطهٔ $A$: $(2,11)$
$y=13-x\xrightarrow{x=8}y=13-8=5$
نقطهٔ $B$: $(8,5)$
دو نقطهٔ به دست آمده روی سهمی $y=\frac{-1}{2}{{x}^{2}}+ax+b$ هستند، پس:
$A\Rightarrow 11=\frac{-1}{2}{{(2)}^{2}}+a(2)+b\Rightarrow 11=-2+2a+b\Rightarrow 2a+b=13$
$B\Rightarrow 5=\frac{-1}{2}{{(8)}^{2}}+a(8)+b\Rightarrow 5=-32+8a+b\Rightarrow 8a+b=37$
دو معادلهٔ به دست آمده را در یک دستگاه حل می‌کنیم:
$\left\{ \begin{matrix} 2a+b=13\xrightarrow{\times (-1)} \\ 8a+b=37\xrightarrow{{}} \\ \end{matrix} \right.\underbrace{\underline{\left\{ \begin{matrix} -2a-b=-13 \\ 8a+b=37 \\ \end{matrix} \right.}}_{6a=24\Rightarrow a=4}$
با جای‌گذاری $a=4$ در معادلهٔ $2a+b=13$، داریم:
$2(4)+b=13\Rightarrow 8+b=13\Rightarrow b=5$
پس ضابطهٔ سهمی به‌صورت روبه‌رو است: $y=-\frac{1}{2}{{x}^{2}}+4x+5$
طول و عرض رأس آن را حساب می‌کنیم:
${{x}_{s}}=\frac{-b}{2a}=\frac{-4}{2(\frac{-1}{2})}=4$
$x=4$ را در ضابطه قرار می‌دهیم تا عرض رأس هم به‌دست آید:
${{y}_{s}}=\frac{-1}{2}{{(4)}^{2}}+4(4)+5=-8+16+5=13$
پس مختصات رأس به‌صورت $(4,13)$ است.
عادل علی پناه 
