اتحادهای درجهٔ $2$ در ضرب داخلی برقرارند،

پس:

$\begin{align}  & (\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}).(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c})={{\left| \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c} \right|}^{2}}=0 \\  & \Rightarrow {{\left| \overrightarrow{a} \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{b} \right|}^{2}}+{{\left| \overrightarrow{c} \right|}^{2}}+2(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c})=0 \\  & \Rightarrow 1+4+9+2(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c})=0 \\  &\Rightarrow2(\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c})=-14 \\  & \overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+\overrightarrow{a}.\overrightarrow{c}+\overrightarrow{b}.\overrightarrow{c}=-7 \\ \end{align}$