$I+A$ و $I-A$ را که به سادگی می‌توانیم به دست آوریم.

 $\begin{align}
  & I-A=\left[ \begin{matrix}
   1 & 0  \\
   0 & 1  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
   0 & -\tan \alpha   \\
   \tan \alpha  & 0  \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
   1 & \tan \alpha   \\
   -\tan \alpha  & 1  \\
\end{matrix} \right] \\
 & I+A=\left[ \begin{matrix}
   1 & -\tan \alpha   \\
   \tan \alpha  & 1  \\
\end{matrix} \right] \\
\end{align}$

باید وارون ماتریس $I-A$ را حساب کنیم تا بتوانیم جواب سوال را بدهیم.

 ${{(I-A)}^{-1}}=\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}\alpha }\left[ \begin{matrix}
   1 & -\tan \alpha   \\
   \tan \alpha  & 1  \\
\end{matrix} \right]$

بنابراین:

$\begin{align}
  & {{(I-A)}^{-1}}(I+A) \\
 & =\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}\alpha }\left[ \begin{matrix}
   1 & -\tan \alpha   \\
   \tan \alpha  & 1  \\
\end{matrix} \right]\left[ \begin{matrix}
   1 & -\tan \alpha   \\
   \tan \alpha  & 1  \\
\end{matrix} \right] \\
 & =\frac{1}{1+{{\tan }^{2}}\alpha }\left[ \begin{matrix}
   1-{{\tan }^{2}}\alpha  & -2\tan \alpha   \\
   2\tan \alpha  & 1-{{\tan }^{2}}\alpha   \\
\end{matrix} \right] \\
 & =\left[ \begin{matrix}
   \frac{1-{{\tan }^{2}}\alpha }{1+{{\tan }^{2}}\alpha } & \frac{-2\tan \alpha }{1+{{\tan }^{2}}\alpha }  \\
   \frac{2\tan \alpha }{1+{{\tan }^{2}}\alpha } & \frac{1-{{\tan }^{2}}\alpha }{1+{{\tan }^{2}}\alpha }  \\
\end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix}
   \cos 2\alpha  & -\sin 2\alpha   \\
   \sin 2\alpha  & \cos 2\alpha   \\
\end{matrix} \right] \\
\end{align}$