برهان غیرمستقیم: هنر رسیدن به حقیقت از راه نفی آن
برهان غیرمستقیم چیست؟ منطق پشت این استدلال
تصور کنید میخواهید ثابت کنید که "همهی گربههای خانه سیاه هستند". در برهان مستقیم، شما باید تکتک گربهها را بررسی کنید. اما در برهان غیرمستقیم، طوری استدلال میکنید که گویی میخواهید ثابت کنید گزارهی مخالف آن غلط است.
مراحل این روش به صورت زیر است:
| گام | توضیح | مثال: "عدد $ \sqrt{2} $ گویا نیست." |
|---|---|---|
| ۱. فرض خلاف | فرض کنید حکمی که میخواهیم اثبات کنیم، نادرست است. یعنی حکم مخالف آن درست است. | فرض کنیم $ \sqrt{2} $ گویا2 است. پس میتوان آن را به صورت کسری سادهشده $ \frac{a}{b} $ نوشت که a و b اعداد صحیح هستند و هیچ مقسومعلیه3 مشترکی جز 1 ندارند. |
| ۲. استنتاج منطقی | با استفاده از قواعد منطق و ریاضی، نتایجی از این فرض جدید استخراج میکنیم. | اگر $ \sqrt{2} = \frac{a}{b} $ باشد، پس $ 2 = \frac{a^2}{b^2} $ یا $ a^2 = 2b^2 $. این یعنی $ a^2 $ عددی زوج است، پس a خودش نیز زوج است (چون مجذور عدد فرد، فرد است). |
| ۳. رسیدن به تناقض | این نتایج یا با دانستههای قطعی پیشین در تضاد هستند یا خودشان یکدیگر را نقض میکنند (مثلاً منجر به 5=3 میشوند). | اگر a زوج باشد، میتوان نوشت $ a = 2k $. با جایگذاری: $ (2k)^2 = 2b^2 $ یعنی $ 4k^2 = 2b^2 $ یا $ b^2 = 2k^2 $. پس $ b^2 $ و در نتیجه b نیز زوج است. این با فرض اولیه (سادهشدن کسر) که گفته بود a و b مقسومعلیه مشترکی ندارند، در تناقض است (هر دو زوج اند و حداقل 2 مقسومعلیه مشترک دارند). |
| ۴. نتیجهگیری نهایی | از آنجا که فرض خلاف به تناقض منجر شد، این فرض نمیتواند درست باشد. بنابراین، حکم اصلی ما باید درست باشد. | فرض گویا بودن $ \sqrt{2} $ باطل است. در نتیجه، $ \sqrt{2} $ یک عدد گنگ4 است. |
مثالهای ملموس از ساده تا پیچیده
مثال روزمره: فرض کنید در یک کلاس 30 نفره، معلم ادعا میکند: "حداقل دو نفر در این کلاس، تولد یکسان دارند." میخواهیم با برهان غیرمستقیم این را بررسی کنیم.
فرض خلاف: هیچ دو نفری در کلاس تولد یکسان ندارند (همه تولدها متفاوت است). در این حالت، برای 30 نفر به 30 روز متفاوت از سال نیاز داریم. اما سال فقط 365 روز دارد. این فرض چیز عجیبی نیست و در نگاه اول تناقض آشکاری ندارد. اما این مثال ساده نشان میدهد که همیشه رسیدن به عبارتی مثل 1=2 ممکن نیست. گاهی تناقض به صورت یک نتیجهگیری نامعقول یا نقض یک اصل پذیرفتهشده (مثل تعداد روزهای سال) خود را نشان میدهد. در واقعیت، با محاسبهی احتمالات میتوان نشان داد که احتمال رخداد فرض خلاف بسیار کم (کمتر از 30%) است، که قوت ادعای اصلی را میرساند.
مثال ریاضیاتی کلاسیک (اثبات اقلیدس): قضیه: «اعداد اول نامتناهی هستند».
- فرض خلاف: فرض کنیم تعداد اعداد اول متناهی و محدود است. پس میتوانیم همهی آنها را لیست کنیم: $ p_1, p_2, p_3, ..., p_n $.
- استنتاج: حالا عدد جدیدی میسازیم: $ N = (p_1 \times p_2 \times p_3 \times ... \times p_n) + 1 $.
- رسیدن به تناقض: این عدد N یا خودش عدد اول است، یا عددی مرکب است که حداقل یک عامل اول دارد.
- اگر N اول باشد: پس عدد اولی است که در لیست اصلی ما نبوده (چون از حاصلضرب همهی آنها 1 بیشتر است). این با فرض "لیست کامل بودن" در تناقض است.
- اگر N مرکب باشد: باید بر یکی از اعداد اول $ p_i $ بخشپذیر باشد. اما از آنجا که N را به شکل «حاصلضرب همهی $ p_i $ها بهعلاوهی 1» ساختهایم، اگر آن را بر هر $ p_i $ تقسیم کنیم، باقیماندهی 1 خواهد شد. یعنی N بر هیچ یک از اعداد اول لیست بخشپذیر نیست. باز هم به تناقض میرسیم.
- نتیجه: فرض متناهی بودن اعداد اول غلط است. بنابراین، اعداد اول نامتناهیاند.
کاربرد برهان غیرمستقیم در حل مسئله و تفکر انتقادی
این روش فقط به ریاضیات محض محدود نمیشود. در حل مسائل منطقی، برنامهنویسی (عیبیابی کد)، و حتی بحثهای روزمره کاربرد دارد.
مثال در عیبیابی: فرض کنید لامپ اتاق شما روشن نمیشود. حکم اصلی: "لامپ سوخته است." برای آزمودن این، به صورت غیرمستقیم عمل میکنید:
۱. فرض خلاف: لامپ سالم است (پس مشکل از جای دیگری است).
۲. استنتاج و بررسی: اگر لامپ سالم باشد، با تعویض پریز یا فیوز، باید روشن شود. شما لامپ را در پریز دیگری امتحان میکنید (که میدانید سالم است) ولی باز هم روشن نمیشود.
۳. تناقض: فرض "سالم بودن لامپ" منجر به نتیجهای (روشن شدن در پریز سالم) شد که در واقعیت رخ نداد.
۴. نتیجه: فرض خلاف نادرست است. پس حکم اصلی ("لامپ سوخته است") درست است.
این فرآیند، در واقع همان تفکر سیستمی و حذف گزینهها است که ریشه در منطق برهان غیرمستقیم دارد.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاورقی
1 برهان غیرمستقیم (Indirect Proof / Proof by Contradiction)
2 عدد گویا (Rational Number): عددی که بتوان آن را به صورت کسری $ \frac{a}{b} $ که در آن a و b اعداد صحیح و b \neq 0 است، نوشت.
3 مقسومعلیه (Divisor)
4 عدد گنگ (Irrational Number): عددی که نتوان آن را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت.
5 نفی پادگزاره (Law of Contrapositive): در منطق، گزارهی «اگر الف، آنگاه ب» با گزارهی «اگر نقیض ب، آنگاه نقیض الف» همارز است.
6 برهان خلف (Reductio ad Absurdum)
