با تقسیم ${{x}^{3}}+x-2$ بر $x-1$، خارج قسمت تقسیم به‌صورت ${{x}^{2}}+x+2$ به‌دست می‌آید، هم‌چنین با تجزیه مخرج کسر داریم:

\[\begin{matrix}    \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| {{x}^{3}}+x-2 \right|}{{{(x-1)}^{2}}(x+1)}=\underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| ({{x}^{2}}+x+2) \right|(x-1)}{{{(x-1)}^{2}}(x+1)}  \\    \underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{({{x}^{2}}+x+2)(x-1)}{{{(x-1)}^{2}}(x+1)}=\underset{x\to {{1}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{{{x}^{2}}+x+2}{(x- 1)(x+1)}=\frac{4}{{{0}^{+}}}=+\infty   \\    \underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-({{x}^{2}}+x+2)(x-1)}{{{(x-1)}^{2}}(x+1)}=\underset{x\to {{1}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{-({{x}^{2}}+x+2)}{(x-1)(x+1)}=\frac{-4}{{{0}^{-}}}=+\infty   \\ \end{matrix}\Rightarrow \underset{x\to 1}{\mathop{\lim }}\,\frac{\left| {{x}^{2}}+x-2 \right|}{{{x}^{3}}+{{x}^{2}}-x+1}=+\infty \]