قضیهٔ استوارت: رابطهای جادویی بین ضلعها و پارهخط در مثلث
قضیه استوارت چیست و چه میگوید؟
فرض کنید یک مثلث داریم که اضلاع آن $a$، $b$ و $c$ هستند. حالا از رأس $A$، پارهخطی به ضلع $BC$ رسم میکنیم و نقطه برخورد آن را $D$ مینامیم. این پارهخط $AD$ را میانه[2]، نیمساز[3] یا ارتفاع[4] فرض کنید. قضیه استوارت رابطهای کلی بین این شش کمیت (طول سه ضلع، طول پارهخط و دو قطعهای که $D$ روی $BC$ ایجاد میکند) برقرار میسازد.
در شکل زیر، فرض کنید $AB = c$، $AC = b$، $BC = a$. نقطه $D$ روی $BC$ طوری قرار دارد که $BD = m$ و $DC = n$ (پس $m + n = a$). طول پارهخط $AD$ را $d$ مینامیم.
$ a(d^{2} + m \cdot n) = b^{2}m + c^{2}n $
یا به شکل معادل و رایجتر:
$ d^{2} = \frac{b^{2}m + c^{2}n}{a} - m \cdot n $
این فرمول زیبا نشان میدهد اگر طولهای اضلاع و محل دقیق نقطه $D$ (یعنی $m$ و $n$) را بدانید، میتوانید طول پارهخط $d$ را محاسبه کنید، بدون نیاز به رسم یا اندازهگیری مستقیم!
اثبات قضیه: گامبهگام با قانون کسینوسها
برای درک عمیقتر، بیایید با استفاده از قانون کسینوس[5] که در پایه یازدهم آموختهاید، این قضیه را اثبات کنیم.
گام ۱: دو مثلث $ABD$ و $ADC$ را در نظر بگیرید. برای هر کدام قانون کسینوس را روی زاویههای $\angle ADB$ و $\angle ADC$ مینویسیم. توجه کنید که این دو زاویه مکمل هم هستند ($\angle ADB + \angle ADC = 180^{\circ}$) و در نتیجه $\cos(\angle ADC) = -\cos(\angle ADB)$.
| مثلث | قانون کسینوس | توضیح |
|---|---|---|
| $\triangle ABD$ | $c^{2} = d^{2} + m^{2} - 2dm \cos(\angle ADB)$ | ضلع $AB$ مقابل زاویه $\angle ADB$ است. |
| $\triangle ADC$ | $b^{2} = d^{2} + n^{2} - 2dn \cos(\angle ADC)$ | ضلع $AC$ مقابل زاویه $\angle ADC$ است. |
|
با جایگذاری $\cos(\angle ADC) = -\cos(\angle ADB)$ در رابطه دوم خواهیم داشت:
$b^{2} = d^{2} + n^{2} + 2dn \cos(\angle ADB)$ |
||
گام ۲: حالا از دو معادله به دست آمده، مقدار $\cos(\angle ADB)$ را حذف میکنیم. برای این کار معادله اول را در $n$ و معادله دوم را در $m$ ضرب کرده و سپس آنها را با هم جمع میکنیم. عبارتهای شامل $\cos(\angle ADB)$ حذف خواهند شد.
گام ۳: پس از انجام عملیات جبری ساده، به رابطه نهایی خواهیم رسید:
$ b^{2}m + c^{2}n = d^{2}(m+n) + m \cdot n (m+n) $
و چون $m+n = a$، با تقسیم طرفین بر $a$ فرمول اصلی قضیه استوارت به دست میآید. این اثبات نشان میدهد قضیه استوارت در واقع نتیجهای هوشمندانه از قانون کسینوس است.
کاربرد قضیه استوارت در دنیای واقعی
شاید بپرسید این فرمول به چه درد میخورد؟ تصور کنید یک زمین کشاورزی به شکل مثلث دارید و میخواهید از یک گوشه آن، لوله آبیاری مستقیمی به داخل زمین بکشید. اگر محل دقیق اتصال لوله به ضلع مقابل را بدانید، با استفاده از اندازهگیری طول اضلاع زمین و قضیه استوارت میتوانید طول لوله مورد نیاز را دقیقاً محاسبه کنید بدون آنکه مجبور باشید وسط زمین را شخم بزنید و مستقیم اندازه بگیرید!
مثال دیگر در سازههای مثلثی مانند داربستها یا خرپاهای پل است. گاهی برای استحکام بیشتر، یک میله یا تیرک کمکی از یک اتصال به قسمتی از تیر اصلی وصل میشود. اگر نیروهای وارده مشخص باشد، مهندسان با دانستن ابعاد کلی سازه و با کمک این قضیه میتوانند طول این تیرک کمکی و در نتیجه مقدار مواد اولیه لازم را برآورد کنند.
حل: داریم: $a=14, b=15, c=13, m=5, n=14-5=9$.
طبق فرمول: $ d^{2} = \frac{15^{2} \times 5 + 13^{2} \times 9}{14} - (5 \times 9) = \frac{1125 + 1521}{14} - 45 = \frac{2646}{14} - 45 = 189 - 45 = 144 $
بنابراین $d = 12$ متر.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. قضیه استوارت برای هر نقطهای روی ضلع $BC$ (و به طور کلی امتداد آن) صدق میکند. حالت خاص وقتی که $D$ وسط $BC$ باشد، فرمول به فرمول طول میانه تبدیل میشود که خود یک نتیجه مهم است.
پاسخ: فراموش کردن اینکه $m$ و $n$ باید با هم جمع شوند و برابر طول ضلع $a$ باشند ($m+n=a$). همیشه این رابطه را چک کنید. همچنین دقت کنید که $b$ همیشه ضلع مقابل رأس $B$ نیست، بلکه ضللی است که به $m$ متصل است ($AC$).
پاسخ: اگر مثلث قائمالزاویه باشد و پارهخط $AD$ عمود بر ضلع $BC$ (یعنی ارتفاع) باشد، میتوان نشان داد که قضیه استوارت به قضیه فیثاغورس برای مثلثهای کوچکتر تقلیل مییابد. پس میتوان گفت قضیه استوارت یک تعمیم بسیار گستردهتر است.
پاورقی
[1] قضیه استوارت (Stewart's Theorem): به نام ریاضیدان اسکاتلندی، متیو استوارت، که آن را در سال ۱۷۴۶ میلادی ارائه کرد.
[2] میانه (Median): پارهخطی که از یک رأس مثلث به وسط ضلع مقابل وصل میشود.
[3] نیمساز (Angle Bisector): پارهخطی که یک زاویه مثلث را به دو زاویه مساوی تقسیم میکند و تا ضلع مقابل ادامه مییابد.
[4] ارتفاع (Altitude): پارهخطی که از یک رأس مثلث به ضلع مقابل (یا امتداد آن) عمود میشود.
[5] قانون کسینوس (Law of Cosines): در هر مثلث با اضلاع $a, b, c$ و زاویه مقابل ضلع $a$ برابر $A$، رابطه $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc \cos(A)$ برقرار است.
