تجانس: بزرگنمایی و کوچکنمایی با نسبت ثابت
تعریف ساده و عناصر اصلی تجانس
به زبان خیلی ساده، تجانس یعنی یک شکل را مثل یک کشبکش لاستیکی، از یک نقطهی ثابت، به سمت بیرون بکشیم تا بزرگ شود یا به سمت داخل فشار دهیم تا کوچک شود. تنها شرط این کار این است که همهی ابعاد شکل به یک نسبت مشخص تغییر کنند. سه رکن اصلی برای انجام یک تجانس داریم:
۲. نسبت تجانس (k): عددی ثابت که اندازهی جدید هر پارهخط را به اندازهی قدیمی آن مربوط میکند.
۳. شکل اولیه و شکل تجانسیافته: شکل اصلی و شکل جدید که حاصل بزرگنمایی یا کوچکنمایی است.
| مقدار نسبت (k) | نوع تبدیل | توضیح و مثال |
|---|---|---|
| k > 1 | بزرگنمایی | شکل بزرگتر میشود. مانند بزرگ کردن یک عکس با نرمافزار. اگر k=2، اندازهها دو برابر میشوند. |
| 0 | کوچکنمایی | شعر کوچکتر میشود. مانند درست کردن یک ماکت از یک ساختمان. اگر k=0.5، اندازهها نصف میشوند. |
| k | تجانس همراه با تقارن مرکزی | شعر هم اندازه تغییر میکند و هم نسبت به مرکز تجانس، وارونه میشود (مثل دیدن تصویر در آب). |
| k = 1 یا k = -1 | حالتهای خاص | اگر k=1، شکل تغییر نمیکند. اگر k=-1، شکل فقط وارونه میشود (تقارن مرکزی). |
رابطهی ریاضی و محاسبهی اندازههای جدید
اگر نقطهی $A$ با تجانس به نقطهی $A'$ تبدیل شود، رابطهی اصلی این است: طول پارهخط $OA'$ برابر است با قدر مطلق نسبت تجانس ($|k|$) ضرب در طول پارهخط $OA$. اما برای محاسبهی راحتتر، معمولاً از این قاعده استفاده میکنیم:
یا به شکل معروفتر: $\text{طول جدید} = |k| \times \text{طول اولیه}$
مثال عددی: فرض کنید یک مثلث با ضلع به طول 6 سانتیمتر داریم. اگر این مثلث را با نسبت تجانس k = 2.5 بزرگ کنیم، طول ضلع جدید خواهد شد: |2.5| × 6 = 15 سانتیمتر. همهی اضلاع و حتی ارتفاعها و میانهها هم در همین نسبت 2.5 ضرب میشوند.
کاربردهای تجانس در زندگی و فناوری
شاید فکر کنید تجانس فقط یک موضوع کتاب ریاضی است، اما اشتباه میکنید! نمونههای زیادی از آن در اطراف ما وجود دارد:
۱. نقشهها و ماکتها: همهی نقشههای جغرافیایی یک کوچکنمایی با نسبت ثابت از منطقهی واقعی هستند. مقیاس نقشه همان نسبت تجانس است. مثلاً مقیاس 1:100000 یعنی 1 سانتیمتر روی نقشه معادل 100000 سانتیمتر (1 کیلومتر) در واقعیت است. ساخت ماکت هواپیما یا ساختمان نیز یک کوچکنمایی دقیق با نسبت ثابت است.
۲. دوربین عکاسی و پروژکتور: دوربین موبایل شما، صحنهی مقابل را کوچک میکند و روی حسگر ثبت میکند (یک تجانس). برعکس، پروژکتور، تصویر کوچک داخل لپتاپ را بزرگ کرده و روی پرده نمایش میدهد.
۳. چاپ و طراحی: وقتی یک لوگو را در نرمافزار طراحی بزرگ یا کوچک میکنید، در حال انجام تجانس هستید. نکتهی مهم اینجاست که شکل لوگو به هم نمیریزد زیرا همهی اجزا با یک نسبت تغییر میکنند.
۴. سایهها: در یک روز آفتابی، سایهی شما روی زمین، یک تجانس (گاهی همراه با اعوجاج) از شکل بدن شماست. اگر خورشید مستقیماً بالای سرتان باشد، سایهی شما یک کوچکنمایی تقریباً کامل است!
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
جمعبندی:
- تجانس، تبدیل هندسیِ بزرگنمایی یا کوچکنمایی با یک نسبت ثابت از یک نقطهی مرکزی است.
- نسبت تجانس (k) تعیین میکند شکل بزرگ میشود (|k|>1) یا کوچک (0).
- مهمترین ویژگی تجانس، حفظ شکل و اندازهی زوایا است. فقط اندازهی طولها تغییر میکند.
- این مفهوم در نقشهکشی، عکاسی، چاپ و ساخت ماکت کاربرد فراوان و ملموسی دارد.
پاورقی
1 تجانس (Homothety): تبدیل هندسی که در آن هر نقطه از یک شکل از یک نقطه ثابت (مرکز) فاصلهاش به نسبت ثابتی تغییر میکند.
2 مرکز تجانس (Center of Homothety): نقطهی ثابت O که نقاط حول آن بزرگ یا کوچک میشوند.
3 نسبت تجانس (Ratio of Homothety): عدد ثابت k که ضریب بزرگنمایی یا کوچکنمایی را مشخص میکند.
4 تشابه (Similarity): رابطه بین دو شکل که دارای زوایای برابر و اضلاع متناسب هستند. هر تجانس، یک تشابه ایجاد میکند.
