دایرهٔ محاطی: دایرهای در آغوش ضلعها
دایرهای که از درون میچسبد
تصور کنید یک زمین سهگوش (مثلثی شکل) دارید و میخواهید بزرگترین حوضچهٔ دایرهای ممکن را دقیقاً در وسط آن بسازید، طوری که لبههای حوضچه به هیچیک از حصارهای زمین برخورد نکند، بلکه فقط به آنها مماس۲ باشد. این حوضچه، دقیقاً معادل یک دایرهٔ محاطی است. دایرهای که درون یک چندضلعی قرار گرفته و به همهٔ ضلعهای آن چندضلعی مماس است. برخلاف دایرهٔ محیطی۳ که دور شکل را فرا میگیرد، دایرهٔ محاطی درون شکل جای خوش میکند.
این دایره برای هر چندضلعی وجود ندارد. شرط اصلی این است که نیمسازهای۴ تمام زوایای داخلی چندضلعی در یک نقطه مشترک همدیگر را قطع کنند. این نقطه، مرکز محاطی۵ نام دارد و فاصلهٔ آن از هر ضلع (که همان خط عمود۶ است)، یکسان و برابر با شعاع محاطی۷ است. همهٔ مثلثها و همهٔ چندضلعیهای منتظم این ویژگی جالب را دارند.
دایره محاطی در مثلث، قلب تپندهٔ هندسه
مثلث سادهترین شکل برای مطالعهٔ دایرهٔ محاطی است. در هر مثلث، دقیقاً یک دایرهٔ محاطی منحصر به فرد وجود دارد. مرکز این دایره، محل برخورد سه نیمساز زوایای داخلی مثلث است. این نقطه، از هر سه ضلع مثلث به یک فاصله است. این فاصلهٔ یکسان، همان شعاع دایرهٔ محاطی است.
اگر مساحت مثلث را با $A$ و نصف محیط آن (نیممحیط) را با $s$ نشان دهیم، آنگاه شعاع دایرهٔ محاطی از رابطهی سادهی زیر به دست میآید:
$$ r = \frac{A}{s} $$ به بیان دیگر، شعاع دایرهٔ محاطی، حاصل تقسیم مساحت مثلث بر نیممحیط آن است.
مثال: فرض کنید مثلثی داریم که طول ضلعهای آن 3، 4 و 5 سانتیمتر است. محیط مثلث 12 = 5 + 4 + 3 است. پس نیممحیط 6 = 2 ÷ 12 سانتیمتر است. مساحت این مثلث قائمالزاویه 6 = 2 ÷ (4 × 3) سانتیمتر مربع است. بنابراین شعاع دایرهٔ محاطی آن 1 = 6 ÷ 6 سانتیمتر خواهد بود. یعنی میتوان دایرهای به شعاع 1 سانتیمتر را درون این مثلث طوری رسم کرد که به همهٔ ضلعها برخورد کند.
| چندضلعی منتظم | رابطه شعاع محاطی ($r$) | توضیح |
|---|---|---|
| مثلث متساویالاضلاع با ضلع $a$ | $ r = \frac{\sqrt{3}}{6} a $ | مرکز محاطی، مرکز ثقل۸ مثلث نیز هست. |
| مربع با ضلع $a$ | $ r = \frac{a}{2} $ | دایرهای کاملاً درون مربع که به چهار ضلع آن مماس است. |
| ششضلعی منتظم با ضلع $a$ | $ r = \frac{\sqrt{3}}{2} a $ | این شعاع با آپوتم۹ ششضلعی برابر است. |
| n-ضلعی منتظم با ضلع $a$ | $ r = \frac{a}{2 \tan(\frac{\pi}{n})} $ | فرمول عمومی که در آن $n$ تعداد ضلعها است. |
از کندوی عسل تا چرخ دنده: کاربردهای شگفتانگیز
شاید فکر کنید دایرهٔ محاطی یک مفهوم صرفاً تئوری است، اما نمونههای عینی زیادی از آن در اطراف ما وجود دارد:
۱. معماری و طراحی: هنگام طراحی یک فضای دایرهای در وسط یک زمین چندضلعی (مثلاً یک آبنما در وسط حیاط مثلثی شکل یک خانه)، طراح ناخودآگاه در حال کار با مفهوم دایرهٔ محاطی است تا حداکثر استفاده از فضا شود.
۲. کندوی عسل: سلولهای ششضلعی کندوی زنبور عسل یک نمونهٔ کامل از چندضلعی منتظم هستند. اگر به مرکز هر سلول نگاه کنید، یک دایرهٔ محاطی فرضی وجود دارد که فضای داخلی سلول را نشان میدهد. این ساختار بهینهترین روش برای استفاده از فضا و مواد است.
۳. نشانهای گردراه (راندابوت): بسیاری از نشانهای گردراه در وسط تقاطعهای چندضلعی شکل قرار میگیرند. ابعاد این نشانها اغلب طوری انتخاب میشود که از خطوط عبور و مرور (اضلاع تقاطع) فاصلهٔ ایمنی داشته باشد، مفهومی شبیه به دایرهٔ محاطی.
۴. مهندسی مکانیک: در طراحی چرخدندهها یا قطعات مکانیکی که باید درون یک قاب چندضلعی قرار گیرند، اطمینان از وجود فضای کافی و عدم برخورد، با محاسباتی مشابه پیدا کردن دایرهٔ محاطی انجام میشود.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
- دایرهٔ محاطی:داخل شکل است. به ضلعها مماس است. مرکز آن از برخورد نیمساز زوایا به دست میآید.
- دایرهٔ محیطی:اطراف شکل است. از رأسها میگذرد. مرکز آن از برخورد عمودمنصف۱۱ ضلعها به دست میآید.
پاورقی
۱ دایره محاطی (Incircle / Inscribed Circle)
۲ مماس (Tangent): خط یا منحنیای که در یک نقطه با یک منحنی یا سطح تماس پیدا میکند بدون اینکه آن را قطع کند.
۳ دایره محیطی (Circumcircle / Circumscribed Circle)
۴ نیمساز (Angle Bisector): خطی که یک زاویه را به دو زاویهٔ مساوی تقسیم میکند.
۵ مرکز محاطی (Incenter)
۶ عمود (Perpendicular): خطی که با خط دیگری زاویهٔ ۹۰ درجه (قائمه) میسازد.
۷ شعاع محاطی (Inradius)
۸ مرکز ثقل (Centroid): نقطهای که میانگین رأسهای مثلث است، همان مرکز جرم.
۹ آپوتم (Apothem): پارهخطی از مرکز یک چندضلعی منتظم به وسط یکی از ضلعهایش که بر آن ضلع عمود است.
۱۰ چهارضلعی محیطمماس (Tangential Quadrilateral)
۱۱ عمودمنصف (Perpendicular Bisector): خطی که یک پارهخط را به دو بخش مساوی تقسیم کرده و بر آن عمود است.
