دایرههای مماس: کشف رابطه هندسی پنهان در دنیای اطراف ما
انواع تماس: مماس داخلی و خارجی
همانطور که دو توپ میتوانند از بیرون به هم بچسبند یا یکی داخل گودی دیگری قرار گیرد، دایرههای مماس نیز دو نوع اصلی دارند. این تفاوت در موقعیت قرارگیری آنها، فرمولهای متفاوتی برای محاسبه فاصله بین مراکز ایجاد میکند .
| نوع مماس | تصویر ذهنی و مثال | رابطه بین مراکز و شعاعها |
|---|---|---|
|
مماس خارجی
دو دایره کاملاً مجزا
|
دو حلقه از یک زنجیر که از بیرون به هم چسبیدهاند. دو چرخ دنده درگیر در یک موتور ساده. دو دایره کاملاً در بیرون یکدیگر قرار گرفته و در یک نقطه با هم تماس دارند . |
$d = R + r$
فاصله مراکز (d) برابر است با جمع شعاع دایره بزرگ (R) و شعاع دایره کوچک (r). |
|
مماس داخلی
یک دایره داخل دیگری
|
سکهای که داخل کاسهای گرد قرار گرفته و لبه آن را لمس میکند. حلقههای حبابساز داخل یکدیگر. دایره کوچکتر کاملاً داخل دایره بزرگتر قرار دارد و فقط در یک نقطه با محیط داخلی آن تماس دارد . |
$d = R - r$
فاصله مراکز (d) برابر است با تفاضل شعاع دایره بزرگ (R) و شعاع دایره کوچک (r). |
محاسبات ساده با قضیه فیثاغورس
وقتی دو دایره مماس باشند و یک خط بر هر دو مماس رسم شود، مثلثهای قائمالزاویه جالبی شکل میگیرند که با قضیه فیثاغورس قابل حل هستند. بیایید با یک مثال پیش برویم.
تصور کنید دو دایره به شعاعهای 6 و 14 سانتیمتر داریم که مماس خارجی هستند. اگر طول مماس مشترک خارجی۳ آنها 15 سانتیمتر باشد، فاصله بین مراکز چقدر است؟
با استفاده از فرمول مربوطه داریم: $(طول مماس)^2 = d^2 - (R - r)^2$
اعداد را جایگذاری میکنیم: $15^2 = d^2 - (14 - 6)^2$
پس: $225 = d^2 - 64$ و در نتیجه $d^2 = 289$. بنابراین فاصله مراکز $d = 17$ سانتیمتر میشود .
دایرههای مماس در زندگی: از ورزش تا فناوری
شاید فکر کنید این مفاهیم فقط در کتابهای هندسه وجود دارند، اما نمونههای ملموس زیادی در اطراف ما یافت میشوند:
• ورزش پرتاب دیسک: ورزشکاری را تصور کنید که برای پرتاب دیسک، در یک مسیر دایرهوار میچرخد. در لحظه رها کردن، دیسک در مسیری مماس بر آن دایره چرخش به پرواز درمیآید . اگر مسیر پرتاب از داخل دایره میگذشت، ورزشکار نمیتوانست نیروی لازم را ایجاد کند!
• سیستم چرخدندهها: در یک دوچرخه ساده یا ساعت مکانیکی، چرخدندهها برای انتقال نیرو باید با هم درگیر شوند. نقطه تماس آنها دقیقاً مانند دو دایره مماس خارجی است. اگر فاصله مراکز درست نباشد (یعنی رابطه $d = R + r$ برقرار نباشد)، یا چرخدندهها به هم فشار میآورند و میشکنند، یا اصلاً درگیر نمیشوند.
• معماری و طراحی: در طراحی برخی طاقها، پلها یا حتی لوگوهای شرکتها، از دایرههای مماس برای ایجاد هارمونی و استحکام بصری استفاده میشود. نظم موجود در این اشکال برای چشم انسان دلپذیر است.
پرسشهای متداول و اشتباهات رایج
پاسخ: خیر. تعریف اصلی «مماس بودن» داشتن یک و تنها یک نقطه مشترک است. اگر دو نقطه مشترک داشته باشند، آنگاه متقاطع (قطعکننده) هستند .
پاسخ: تعداد این خطوط، که به آنها «مماسهای مشترک» میگویند، بستگی به موقعیت دو دایره نسبت به هم دارد. برای دو دایره کاملاً جدا از هم، معمولاً چهار خط (دو مماس مشترک خارجی و دو داخلی) وجود دارد. وقتی دو دایره از بیرون مماس باشند، تعداد این خطوط به سه کاهش مییابد .
پاسخ: اشتباه رایج این است که فقط به نزدیک بودن دایرهها نگاه کنیم. برای تشخیص صحیح باید ببینیم آیا یک دایره کاملاً داخل دایره دیگر قرار دارد (مماس داخلی) یا هر دو در خارج یکدیگرند (مماس خارجی). سپس از فرمول درست $d = R + r$ یا $d = R - r$ استفاده کنیم.
پاورقی
۱دایرههای بوسهزن (Kissing Circles): اصطلاحی است که در ریاضیات و فیزیک برای دایرههایی که در یک نقطه مشترک مماس هستند، به کار میرود .
۲نقطه تماس (Point of Tangency): نقطهای که در آن دو دایره یا یک خط و یک دایره یکدیگر را لمس میکنند .
۳مماس مشترک خارجی (External Common Tangent): خطی که بر هر دو دایره مماس است و هر دو دایره در یک سمت این خط قرار دارند .
