مماس مشترک داخلی: وقتی دو دایره در دو طرف خط هستند
مماس مشترک داخلی در مقابل خارجی: شناخت تفاوتها
پیش از پرداختن به جزئیات، لازم است به خوبی تفاوت دو مفهوم اصلی را درک کنیم. یک خط «مماس مشترک»۲ خطی است که بر هر دو دایره مماس باشد . اما بسته به موقعیت نسبی دایرهها نسبت به این خط، دو نوع متمایز داریم:
| نوع مماس مشترک | موقعیت دایرهها نسبت به خط | تصویر ذهنی | طول (بر اساس قضیه فیثاغورس) |
|---|---|---|---|
| مماس مشترک خارجی | هر دو دایره در یک سمت خط مماس قرار دارند. | مانند دو چرخ ماشین که یک تسمه (خط مماس) از بیرون آنها را میپوشاند. | $ L_{خارجی} = \sqrt{d^2 - (R - r)^2} $ |
| مماس مشترک داخلی | دو دایره در دو طرف مختلف خط مماس قرار میگیرند . | مانند یک پل (خط مماس) که دو جزیره دایرهای شکل (دایرهها) را به هم متصل میکند. | $ L_{داخلی} = \sqrt{d^2 - (R + r)^2} $ |
در این فرمولها، $ d $ فاصله بین مرکز دو دایره، و $ R $ و $ r $ به ترتیب شعاع دایره بزرگتر و کوچکتر هستند (فرض میشود $ R \geq r $). تفاوت کلیدی در پرانتز زیر رادیکال است: در مماس داخلی شعاعها جمع میشوند، زیرا خط مماس از فضای بین دو دایره میگذرد.
یافتن طول مماس داخلی: یک مثال گامبهگام
بیایید فرمول را با حل یک مسئله واقعی تمرین کنیم. فرض کنید دو دایره داریم که شعاع یکی ۸ سانتیمتر و شعاع دیگری ۴ سانتیمتر است. فاصله مراکز این دو دایره ۱۵ سانتیمتر است. طول مماس مشترک داخلی آنها چقدر است؟
گام اول: شناسایی مقادیر معلوم
شعاع دایره بزرگتر: $ R = 8\ cm $
شعاع دایره کوچکتر: $ r = 4\ cm $
فاصله مراکز: $ d = 15\ cm $
گام دوم: جایگذاری در فرمول
$ L = \sqrt{d^2 - (R + r)^2} = \sqrt{15^2 - (8 + 4)^2} $
گام سوم: محاسبه
$ L = \sqrt{225 - (12)^2} = \sqrt{225 - 144} = \sqrt{81} $
گام چهارم: نتیجه نهایی
$ L = 9\ cm $
بنابراین، طول مماس مشترک داخلی این دو دایره ۹ سانتیمتر است.
از صفحه کتاب تا دنیای واقعی: مماس داخلی کجا دیده میشود؟
شاید فکر کنید این مفاهیم فقط برای حل مسائل ریاضی هستند، اما کاربردهای شگفتانگیزی در زندگی و فناوری دارند:
• طراحی مسیرهای ترافیکی و ریلی: هنگام طراحی یک تقاطع یا مسیری که دو میدان دایرهای شکل (میدانهای گرد) را به هم متصل میکند، مهندسان از مفهوم مماس مشترک داخلی برای ایجاد مسیرهای اتصال نرم و بدون پیچهای تیز استفاده میکنند. این مسیر شبیه یک مماس داخلی است که دو دایره (میدانها) را به گونهای به هم وصل میکند که ترافیک بتواند به آرامی از یکی به دیگری منتقل شود .
• مکانیک و حرکت: اگر دو چرخ دنده را در نظر بگیرید که از داخل با یک تسمه یا چرخدنده دیگر به هم متصل شدهاند، مسیر تماس میتواند شبیه به بخشی از یک مماس مشترک داخلی باشد. این اتصال باعث انتقال حرکت در جهتهای مخالف میشود.
• بازیهای رایانهای و گرافیک: در طراحی مسیرهای حرکت اشیا یا ایجاد برخوردهای واقعگرایانه بین اجسام دایرهای شکل در بازیها، برنامهنویسان از این روابط هندسی برای محاسبه دقیق زاویه برخورد و مسیر پس از آن استفاده میکنند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
- اگر مسئله گفت «دو دایره در دو طرف خط مماس هستند» یا «مماس مشترک داخلی»، قطعاً از فرمول $ L = \sqrt{d^2 - (R + r)^2} $ استفاده کنید.
- اگر گفت «دو دایره در یک سمت خط هستند» یا «مماس مشترک خارجی»، از فرمول $ L = \sqrt{d^2 - (R - r)^2} $ استفاده میشود .
- همیشه یک شکل ساده بکشید. اگر خط مماس از بین دو دایره عبور کرد و آنها را در دو طرف خود قرار داد، مماس داخلی است.
پاورقی
۱. مماس مشترک داخلی (Internal Common Tangent): خطی که بر هر دو دایره مماس باشد و دو دایره در دو طرف مختلف آن واقع شوند.
۲. مماس مشترک (Common Tangent): خطی که بر هر دو دایرهی داده شده مماس باشد.
۳. خط قاطع (Secant Line): خطی که یک منحنی (مانند دایره) را در دو نقطه قطع میکند .
۴. نقطه تماس (Point of Tangency): نقطهای که در آن خط مماس، دایره را لمس میکند.
