قضیهٔ مماس و قاطع: از هندسه تا دنیای اطراف ما
مفاهیم پایه: مماس، قاطع و قطعات آنها
قبل از پرداختن به خود قضیه، باید با بازیگران اصلی آن آشنا شویم. همه ما دایره را میشناسیم. حالا خطهای مختلفی را در نظر بگیرید که این دایره را قطع میکنند یا لمس میکنند.
| نام خط | تعریف | قطعات مهم (پارهخط) | نماد در شکل و فرمول |
|---|---|---|---|
| مماس1 | خطی که دایره را دقیقاً در یک نقطه لمس میکند و بر شعاع در آن نقطه عمود است. | طول از نقطه خارجی تا نقطه تماس را "طول مماس" مینامیم. | $PT$ |
| قاطع2 | خطی که دایره را در دو نقطه قطع میکند. | کل طول قاطع از نقطه خارجی تا دورترین نقطه تقاطع (PB) و بخش خارجی آن از نقطه خارجی تا نزدیکترین نقطه تقاطع (PA). | $PB$ و $PA$ |
در یک شکل استاندارد، یک نقطهی خارج از دایره مثل $P$ داریم. از این نقطه یک خط مماس به دایره رسم میکنیم که دایره را در نقطه $T$ لمس میکند. همچنین یک خط قاطع رسم میکنیم که دایره را در نقاط $A$ و $B$ قطع میکند (طوری که $A$ به $P$ نزدیکتر است).
$(PT)^2 = PA \times PB$
به عبارت دیگر: (طول مماس)۲ = (بخش خارجی قاطع) × (کل طول قاطع)
اثبات گامبهگام قضیه: چرا این رابطه برقرار است؟
برای اثبات این قضیه از تشابه مثلثها استفاده میکنیم. این روشی است که در کتابهای درسی پایه یازدهم نیز وجود دارد. مراحل را دنبال کنید:
گام ۱: نقاط $A$، $B$، $T$ و $P$ را همانطور که در بخش قبل تعریف شد، در نظر بگیرید. دو وتر3$TA$ و $TB$ را رسم کنید.
گام ۲: به دو مثلث $\triangle PTA$ و $\triangle PTB$ نگاه کنید.
گام ۳: زاویهی $\angle P$ بین دو ضلع مشترک در این دو مثلث است (یعنی در هر دو مثلث وجود دارد).
گام ۴ (کلیدی): زاویهی $\angle A$ در مثلث $\triangle PTA$ را در نظر بگیرید. این زاویه، یک زاویهی محاطی4 است که وتر $TB$ را روبرو کرده است. حالا زاویهی بین مماس $PT$ و وتر $TB$ (یعنی $\angle BTP$) را بررسی کنید. یک قضیهٔ دیگر در هندسه میگوید: «زاویه بین مماس و یک وتر، با زاویه محاطی روبروی آن وتر در طرف دیگر وتر برابر است.» بنابراین: $\angle A = \angle BTP$.
گام ۵: از گامهای ۳ و ۴ نتیجه میگیریم که دو زاویه از مثلث $\triangle PTA$ با دو زاویه از مثلث $\triangle PTB$ برابرند (زاویهٔ $\angle P$ مشترک و $\angle A = \angle BTP$). پس این دو مثلث متشابه هستند.
گام ۶: در مثلثهای متشابه، نسبت اضلاع متناظر برابر است. بنابراین میتوانیم بنویسیم:
$\frac{PT}{PB} = \frac{PA}{PT}$
این نسبت از تناظر اضلاع مقابل زوایای برابر به دست میآید.
گام ۷ (نتیجهگیری): با ضرب طرفین در مخرجها (ضرب طرفین در وسطین) به رابطهٔ نهایی میرسیم:
$(PT)^2 = PA \times PB$
و اثبات کامل میشود.
کاربرد قضیه: از حل مسئله تا دنیای واقعی
این قضیه فقط یک فرمول خشک ریاضی نیست. بیایید با چند مثال ببینیم چطور میتوان از آن استفاده کرد.
مثال ۱ (حل مسئله کتابی): فرض کنید از نقطهای خارج از دایره، طول مماس برابر 12 سانتیمتر است. اگر طول بخش خارجی یک قاطع رسم شده از آن نقطه 4 سانتیمتر باشد، طول کل این قاطع چقدر است؟
حل: طبق قضیه داریم: $(12)^2 = 4 \times PB$. پس $144 = 4 \times PB$ و در نتیجه $PB = 36$ سانتیمتر.
مثال ۲ (یک داستان واقعی): فرض کنید یک مهندس میخواهد فاصلهی یک نقطه روی ساحل ($P$) از یک فانوس دریایی واقع بر روی صخرهای دایرهای شکل را بیابد. او نمیتواند مستقیماً به سمت فانوس (مرکز دایره) برود. اما میتواند در امتداد ساحل، دو نقطه ($A$ و $B$) را پیدا کند که از هر دو، خط دید به فانوس، دقیقاً لبهی صخره (محیط دایره) را لمس کند (یعنی خطوط مماس). با اندازهگیری فاصله بین این دو نقطه روی ساحل (که بخشی از یک قاطع بزرگ است) و استفاده از قضیه، میتواند طول مماس (فاصله ایمن تا صخره) را حساب کند. این یک کاربرد عملی در نقشهبرداری است.
مثال ۳ (در ورزش): در ورزش بیسبال یا کریکت، زمین یک بخش دایرهای (یا کمانی از دایره) دارد. اگر یک بازیکن در نقطهای خارج از این بخش دایرهای ($P$) بایستد و توپی را در امتدادی بزند که زمین را در دو نقطه ($A$ و $B$) قطع کند (مسیر قاطع) و بخواهیم بدانیم اگر توپ در یک خط راست زمین را لمس کند (مسیر مماس) چقدر فاصله خواهد داشت، باز هم از این قضیه میتوان برای تخمین زدن استفاده کرد.
| مقدار داده شده | مقدار خواسته شده | نحوه استفاده از قضیه |
|---|---|---|
| $PT$ و $PA$ | طول کل قاطع $PB$ | $PB = (PT)^2 / PA$ |
| $PA$ و $PB$ | طول مماس $PT$ | $PT = \sqrt{PA \times PB}$ |
| $PT$ و $PB$ | بخش خارجی قاطع $PA$ | $PA = (PT)^2 / PB$ |
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
- قضیه مماس و قاطع یک رابطهٔ ثابت بین طولهای مرتبط با یک نقطه خارج از دایره برقرار میکند: $(PT)^2 = PA \times PB$.
- پایهٔ اثبات این قضیه، تشابه مثلثها است که آن را به یک مفهوم درکپذیر تبدیل میکند.
- این قضیه یک ابزار محاسباتی قدرتمند برای پیدا کردن یک طول مجهول وقتی دو طول دیگر معلوم هستند، میباشد.
- برای جلوگیری از اشتباه، همیشه شکل مسئله را بکشید و قطعات قاطع ($PA$ و $PB$) را به درستی تشخیص دهید.
- کاربردهای این قضیه فراتر از کتاب ریاضی است و در زمینههایی مانند نقشهبرداری و طراحی میتوان ردپای آن را دید.
پاورقی
1 مماس (Tangent): خطی که دایره را در دقیقاً یک نقطه لمس میکند.
2 قاطع (Secant): خطی که دایره را در دو نقطه قطع میکند.
3 وتر (Chord): پارهخطی که دو نقطه روی دایره را به هم وصل میکند.
4 زاویه محاطی (Inscribed Angle): زاویهای که رأس آن روی دایره و اضلاعش وترهای دایره هستند.
