قضیهٔ وترهای متقاطع: حاصل‌ضرب قطعات دو وتر برابر است.

بروزرسانی شده در: 17:55 1404/10/14 مشاهده: 13 دسته بندی: کپسول آموزشی

قضیهٔ وترهای متقاطع: ارتباط زیبای هندسه در دایره

یک قانون ساده و قدرتمند که رابطهٔ بین قطعات دو وترِ متقاطع در یک دایره را بیان می‌کند.

خلاصه: قضیهٔ وترهای متقاطع^[1] یک رابطهٔ جبری ساده و مهم بین طول قطعات دو وتر^[2] درون یک دایره است که یکدیگر را قطع کرده‌اند. این قضیه بیان می‌کند که حاصل‌ضرب قطعات یک وتر با حاصل‌ضرب قطعات وتر دیگر برابر است. این مفهوم نه تنها در حل مسائل هندسی و اثبات قضایای دیگر کاربرد دارد، بلکه در طراحی و مهندسی نیز دیده می‌شود. در این مقاله، با زبانی ساده، قضیه را تعریف کرده، اثبات گام‌به‌گام آن را ارائه می‌دهیم و با مثال‌هایی از دنیای واقعی آن را ملموس می‌کنیم.

آشنایی با وترها و مفهوم قضیه

قبل از پرداختن به خود قضیه، اجازه دهید مفاهیم پایه را مرور کنیم. یک وتر پاره‌خطی است که دو نقطه از محیط یک دایره را به هم وصل می‌کند. اگر دو وتر درون دایره یکدیگر را در یک نقطه (مثلاً نقطه‌ی P) قطع کنند، هر وتر به دو قطعه تقسیم می‌شود. این قضیه دربارهٔ ارتباط بین طول این قطعات صحبت می‌کند.

بیان قضیه: اگر دو وتر $AB$ و $CD$ در دایره‌ای در نقطه‌ی $P$ یکدیگر را قطع کنند، آنگاه: $$AP \cdot PB = CP \cdot PD$$

به عبارت دیگر، حاصل‌ضرب طول قطعات یک وتر، با حاصل‌ضرب طول قطعات وتر دیگر برابر است. این رابطه فارغ از زاویهٔ برخورد وترها و تنها با شرط تقاطع درون دایره، همیشه برقرار است.

اثبات قضیه: گام‌به‌گام با مثلث‌های متشابه

برای اثبات این قضیه از مفهوم تشابه^[3] مثلث‌ها استفاده می‌کنیم. این روش درک شهودی خوبی از دلیل برقراری این رابطه به ما می‌دهد.

گام ۱: رسم شکل
دایره‌ای با مرکز $O$ و دو وتر متقاطع $AB$ و $CD$ را در نظر بگیرید که در نقطه‌ی درونی $P$ قطع می‌شوند.

گام ۲: ایجاد مثلث‌ها
نقاط $A$ را به $D$ و نقاط $C$ را به $B$ وصل کنید. حالا دو مثلث $\triangle APD$ و $\triangle CPB$ ایجاد شده‌اند.

گام ۳: پیدا کردن زوایای برابر
در دایره، زاویه‌های محاطی^[4] که بر یک کمان یکسان قرار گیرند، با هم برابرند. زاویه‌ی $\angle A$ و $\angle C$ هر دو بر کمان $BD$ قرار دارند، بنابراین: $$\angle A = \angle C$$ به طور مشابه، زاویه‌های $\angle D$ و $\angle B$ بر کمان $AC$ قرار دارند، پس: $$\angle D = \angle B$$

گام ۴: نتیجه‌گیری تشابه و نسبت‌ها
با داشتن دو زاویهٔ برابر، دو مثلث $\triangle APD$ و $\triangle CPB$ با هم متشابهند. از نسبت‌های اضلاع متناظر در مثلث‌های متشابه داریم: $$\frac{AP}{PD} = \frac{CP}{PB}$$ با ضرب طرفین در مخرج‌ها، به رابطهٔ اصلی قضیه می‌رسیم: $$AP \cdot PB = CP \cdot PD$$ و اثبات کامل می‌شود.

حل مسئله: از فرمول تا جواب

بیایید با یک مثال ساده، کاربرد قضیه را در حل مسئله ببینیم. همیشه توصیه می‌شود برای حل، مراحل زیر را دنبال کنید:

مرحله	توضیح	مثال عددی
1	شکل را مطابق داده‌های مسئله رسم کنید و وترهای متقاطع و قطعات آنها را نام‌گذاری کنید.	دو وتر AB و CD در نقطه‌ی P قطع می‌شوند. طول قطعات یک وتر داده شده: AP=4, PB=6. از وتر دیگر، CP=3 داده شده. طول PD را می‌خواهیم.
2	فرمول قضیه را بنویسید: $AP \cdot PB = CP \cdot PD$	$4 \times 6 = 3 \times PD$
3	مقادیر معلوم را در فرمول جایگذاری کنید و معادله را برای یافتن مقدار مجهول حل کنید.	$24 = 3 \times PD \Rightarrow PD = \frac{24}{3} = 8$

کاربردها: از طراحی چرخ تا اندازه‌گیری غیرمستقیم

این قضیه فقط یک مفهوم انتزاعی ریاضی نیست. می‌توان نمونه‌هایی از کاربرد آن را در اطراف خود یافت:

۱. طراحی پل و سازه‌های قوسی: در طراحی برخی پل‌های قوسی یا سقف‌های گنبدی، از خواص دایره و روابط بین اجزای آن استفاده می‌شود. مهندسان برای محاسبه‌ی طول‌های خاص و حفظ تعادل نیروها، از روابطی مانند قضیهٔ وترهای متقاطع بهره می‌برند.

۲. چرخ دنده‌ها: در سیستم‌های چرخ‌دنده‌ای که دایره‌های متحدالمرکز یا درگیر دارند، تعیین فاصله‌های خاص بین محورها یا نقاط تماس می‌تواند به کمک این روابط هندسی ساده‌تر شود. تصور کنید دو وتر متقاطع در چرخی هستید که میله‌هایی از مرکز به محیط وصل شده‌اند؛ این قضیه به محاسبهٔ طول قسمت‌های مختلف آن کمک می‌کند.

۳. اندازه‌گیری غیرمستقیم: فرض کنید می‌خواهید عرض یک رودخانه را بدون عبور از آن اندازه بگیرید. با استفاده از یک دایرهٔ فرضی و ایجاد وترهای متقاطع (مثلاً با کمک ابزار نقشه‌برداری و زاویه‌یاب)، می‌توان با اندازه‌گیری چند طول قابل دسترس در سمت خودِ رودخانه، عرض آن (قطعه‌ای که دسترسی ندارید) را محاسبه کنید.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

سوال: آیا قضیه فقط برای وقتی که نقطهٔ تقاطع (P) دقیقاً وسط وترهاست کاربرد دارد؟

پاسخ: خیر. این یک اشتباه رایج است. قضیه برای هر نقطه‌ای از تقاطع دو وتر در داخل دایره صادق است، حتی اگر آن نقطه مرکز دایره نباشد یا وترها را به قطعات نامساوی تقسیم کند. رابطهٔ $AP \cdot PB = CP \cdot PD$ همواره برقرار است.

سوال: اگر نقطهٔ تقاطع (P) خارج از دایره باشد، آیا باز هم می‌توان از این قضیه استفاده کرد؟

پاسخ: خیر. شرایط قضیه به‌طور مشخص تقاطع وترها در داخل دایره است. اگر نقطهٔ تقاطع خارج از دایره باشد، پاره‌خط‌ها دیگر وتر محسوب نمی‌شوند (به آنها «قاطع»^[5] می‌گویند) و قضیهٔ دیگری به نام «قضیهٔ قاطع‌ها»^[6] برای آن حالت صادق خواهد بود که رابطه‌ای مشابه ولی با تفاوتی کوچک دارد.

سوال: چگونه می‌توانم در مسئله تشخیص دهم که باید از این قضیه استفاده کنم؟

پاسخ: دو نشانهٔ کلیدی وجود دارد: ۱) شکل شامل یک دایره است. ۲) دو پاره‌خط (وتر) درون دایره یکدیگر را قطع کرده‌اند و طول برخی از قطعات آنها داده یا خواسته شده است. اگر این دو شرط را دیدید، به استفاده از این قضیه فکر کنید.

جمع‌بندی: قضیهٔ وترهای متقاطع یک رابطهٔ جبری زیبا و کاربردی در هندسهٔ دایره است که پیوندی بین جبر و هندسه ایجاد می‌کند. با یادگیری این قضیه و درک اثبات سادهٔ آن بر پایهٔ تشابه مثلث‌ها، شما می‌توانید طیف وسیعی از مسائل هندسی را حل کنید. به خاطر داشته باشید که کلید موفقیت در به‌کارگیری این قضیه، رسم شکل دقیق و جایگذاری صحیح طول قطعات در فرمول $AP \cdot PB = CP \cdot PD$ است.

پاورقی

^[1]قضیهٔ وترهای متقاطع (Intersecting Chords Theorem): قضیه‌ای در هندسه که حاصل‌ضرب طول قطعات دو وتر متقاطع در یک دایره را با هم برابر می‌داند.

^[2]وتر (Chord): پاره‌خطی که دو نقطه از محیط یک دایره را به هم وصل می‌کند.

^[3]تشابه (Similarity): حالتی بین دو شکل (مانند مثلث) که در آن اندازهٔ زوایای متناظر برابر و نسبت طول اضلاع متناظر ثابت است.

^[4]زاویهٔ محاطی (Inscribed Angle): زاویه‌ای که رأس آن روی دایره قرار دارد و اضلاعش وترهای آن دایره هستند.

^[5]قاطع (Secant): خطی که دایره را در دو نقطه قطع کند. بخشی از این خط که درون دایره قرار می‌گیرد، یک وتر است.

^[6]قضیهٔ قاطع‌ها (Secant-Secant Theorem): قضیه‌ای برای حالتی که دو خط قاطع از یک نقطه خارج از دایره رسم شده‌اند.

قضیه وترهای متقاطع هندسه دایره وتر تشابه مثلث ها حل مسئله ریاضی

پایهٔ یازدهم هندسه یازدهم قضیهٔ وترهای متقاطع

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!