وتر دایره: خطی که دایره را به هم وصل میکند
وتر چیست؟ از تعریف تا شناسایی
برای شروع، بیایید به سادهترین شکل ممکن، وتر را تعریف کنیم: هر پارهخطی که دو نقطه از محیط یک دایره را به هم وصل کند، یک وتر نام دارد. به بیان دیگر، اگر روی محیط یک دایره، دو نقطه دلخواه مانند A و B را انتخاب کنید و آنها را با یک خطکش به هم وصل کنید، این پارهخط AB یک وتر است.
مهمترین وتر در هر دایره، قطر2 است. قطر، وتری است که از مرکز دایره میگذرد و در واقع بزرگترین وتر ممکن در یک دایره است. طول قطر همیشه دو برابر طول شعاع3 (فاصله مرکز تا محیط) است. اگر طول شعاع را با $ r $ نشان دهیم، طول قطر $ d = 2r $ خواهد بود.
| نام خط | تعریف | خصوصیت ویژه | نماد در شکل |
|---|---|---|---|
| وتر | پارهخطی که دو سر آن روی محیط دایره باشد. | میانگین طول آنها از قطر کمتر است. | AB یا CD |
| قطر | وتر گذرنده از مرکز دایره. | بزرگترین وتر ممکن. طول آن دو برابر شعاع. | PQ |
| شعاع | پارهخطی که مرکز را به یک نقطه روی محیط وصل کند. | نصف قطر. تمام شعاعهای یک دایره باهم برابرند. | OM |
| قوس4 | بخشی از محیط دایره که بین دو نقطه قرار دارد. | هر وتر، یک قوس کوچک (کمان) و یک قوس بزرگ روی دایره ایجاد میکند. | کمان AB |
قضیههای طلایی درباره وتر
در هندسه دایره، چند قضیه مهم و کاربردی وجود دارد که رابطه بین وترها و دیگر اجزا را بیان میکند. درک این قضیهها به حل بسیاری از مسائل کمک میکند.
اگر از مرکز دایره بر یک وتر، عمود5 فرود آوریم، آن خط عمود، وتر را به دو نیمه مساوی (نصف میکند) و برعکس، اگر خطی از مرکز دایره، یک وتر را نصف کند، بر آن وتر عمود است. این یکی از پرکاربردترین قضیههاست.
برای مثال، فرض کنید در یک دایره به مرکز O، وتر AB داریم. اگر OC عمود بر AB باشد، آنگاه AC = CB. این موضوع در محاسبه طول وتر با دانستن فاصله آن از مرکز بسیار مفید است.
در یک دایره (یا دو دایره همشعاع)، وتری که به مرکز نزدیکتر باشد، طول بیشتری دارد. دو وتر همطول، فاصله یکسانی از مرکز دارند. به طور دقیقتر، اگر شعاع دایره $ r $ و فاصله وتر از مرکز $ d $ باشد، نصف طول وتر ($ \frac{l}{2} $) از رابطه فیثاغورس به دست میآید: $ (\frac{l}{2})^2 + d^2 = r^2 $
ارتباط وتر، زاویه مرکزی و کمان
هر وتر با دو مفهوم دیگر گره خورده است: زاویه مرکزی6 و قوس (کمان). به ازای هر وتر مانند AB، یک زاویه مرکزی ($ \angle AOB $) و یک قوس (کمان AB) تعریف میشود. یک رابطه مهم وجود دارد: در یک دایره، وترهای همطول، کمانهای همطول و زوایای مرکزی برابر ایجاد میکنند و برعکس. این اصل در طراحی و تقسیمبندی دایرهها بسیار کاربرد دارد.
وتر در زندگی روزمره: از دوچرخه تا گیتار
شاید فکر کنید وتر فقط یک مفهوم ریاضی است، اما نمونههای عینی زیادی از آن در اطراف ما وجود دارد:
۱. چرخ دوچرخه یا ماشین: پرههای چرخ، در واقع وترهایی از دایرهای هستند که مرکز آن، محور چرخ است. این پرهها نیرو را از لبه چرخ (تایر) به مرکز منتقل میکنند و ساختار محکمی ایجاد میکنند. طول یکسان برخی از پرهها (وترهای همطول) باعث تعادل چرخ میشود.
۲. صفحه ساعت: اگر عقربههای ساعت را در دو زمان مختلف در نظر بگیریم، خط فرضی وصلکننده نوک این دو عقربه، یک وتر از دایره صفحه ساعت است. مثلاً فاصله بین عدد 3 و 9، یک قطر است.
۳. سازهای زهی مانند گیتار یا تار: سیمهای این سازها، وقتی بر روی دسته ساز کشیده میشوند، نمونهای کامل از وتر هستند. طول سیم (طول وتر) و کشش آن، تعیینکننده نت موسیقی است. نام «تریگانومتر»7 (علم مثلثات) نیز از واژهای یونانی به معاوت «اندازهگیری سهگوش» آمده که در مطالعه رابطه بین اضلاع و زوایا، از وتر دایره استفاده میکردند.
۴. طراحی طاقها و پلهای نیمدایره: پایههای این سازهها فاصلهای از هم دارند که در واقع طول وتر قوسی است که طاق را تشکیل میدهد. محاسبه دقیق این طول برای استحکام سازه حیاتی است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
خیر. شرط اساسی این است که هر دو سر پارهخط، دقیقاً روی محیط دایره قرار بگیرند. اگر حتی یک سر آن داخل دایره یا خارج از آن باشد، آن خط وتر نیست.
از قضیه ۲ استفاده میکنیم. نصف طول وتر را به توان دو میرسانیم، فاصله از مرکز را به توان دو میرسانیم، این دو را با هم جمع میکنیم. حاصل جمع، برابر با مربع شعاع است. سپس جذر میگیریم. به فرمول $ r = \sqrt{(\frac{l}{2})^2 + d^2} $ توجه کنید.
بله، قطر یک وتر است اما با یک شرط اضافه: گذر از مرکز دایره. پس میتوان گفت «هر قطر یک وتر است، اما هر وتری قطر نیست.» قطر بزرگترین وتر ممکن در یک دایره است.
پاورقی
1 وتر (Chord): پارهخطی که دو نقطه روی محیط یک دایره را به هم وصل میکند.
2 قطر (Diameter): وتری که از مرکز دایره میگذرد.
3 شعاع (Radius): پارهخطی که مرکز دایره را به یک نقطه روی محیط وصل میکند.
4 قوس (Arc): بخشی از محیط دایره.
5 عمود (Perpendicular): دو خط که با هم زاویه ۹۰ درجه (قائمه) میسازند.
6 زاویه مرکزی (Central Angle): زاویهای که رأس آن مرکز دایره و اضلاع آن دو شعاع هستند.
7 تریگانومتر (Trigonometry): شاخهای از ریاضیات که به مطالعه روابط بین زوایا و اضلاع مثلث میپردازد.
