چندضلعیهای شبکهای: جهان هندسه بر روی نقطهچینها
شبکهٔ مختصات و چندضلعیهای شبکهای: نقطهگذاری در صفحه
برای درک چندضلعی شبکهای، اول باید بدانیم شبکهٔ نقطهای3 چیست. یک صفحهٔ مختصات دکارتی معمولی را تصور کنید. حالا تمام نقاطی که هم مختصات x و هم مختصات y آنها عددی صحیح (مثبت، منفی یا صفر) باشد، نقاط شبکهای نامیده میشوند. به زبان ساده، این نقاط محل برخورد خطوط عمودی و افقی هستند که از اعداد صحیح روی محورها میگذرند.
یک چندضلعی شبکهای، هر چندضلعی (مثلث، چهارضلعی، پنجضلعی و ...) است که تمام گوشهها (رأسهای) آن، روی این نقاط شبکهای قرار گرفته باشند. ضلعهای این چندضلعی لزوماً روی خطوط شبکه نیستند، فقط رأسها مهم هستند.
| نوع شکل | ویژگی رأسها | مثال مختصات (رأسها) | چندضلعی شبکهای؟ |
|---|---|---|---|
| مثلث | همه روی نقاط شبکه | (0,0), (3,0), (1,2) | بله |
| چهارضلعی | یک رأس روی شبکه نیست | (0,0), (2,0), (1.5, 1), (0,2) | خیر |
| شش ضلعی | همه روی نقاط شبکه | (0,0), (2,0), (3,1), (2,2), (0,2), (-1,1) | بله |
محاسبه مساحت بدون فرمول های پیچیده: قضیه پیک
یکی از شگفتانگیزترین قضایا دربارهٔ چندضلعیهای شبکهای ساده، فرمول پیک است. این فرمول به ما اجازه میدهد مساحت چنین چندضلعیای را فقط با شمارش تعداد نقاط روی مرز و داخل آن محاسبه کنیم! یک چندضلعی ساده، شکلی است که ضلعهایش یکدیگر را قطع نمیکنند.
مثال گامبهگام: فرض کنید یک مستطیل شبکهای با رأسهای (1,1)، (1,4)، (5,4) و (5,1) داریم.
1. نقاط مرزی $(B)$: تمام نقاط روی محیط را میشماریم. محیط مستطیل از 14 نقطه تشکیل شده (شامل چهار رأس). پس $B = 14$.
2. نقاط داخلی $(I)$: نقاطی که کاملاً داخل مستطیل هستند. با شمارش میبینیم 6 نقطه داخل آن قرار دارد. پس $I = 6$.
3. محاسبه مساحت با فرمول پیک: $A = 6 + (14/2) - 1 = 6 + 7 - 1 = 12$.
حالا با فرمول معمول مساحت مستطیل (طول × عرض) بررسی میکنیم: طول ضلع افقی 4 واحد و طول ضلع عمودی 3 واحد است. پس مساحت 4 × 3 = 12 واحد مربع. نتیجه دقیقاً یکسان است!
مثلث های شبکهای ساده و جستجوی منتظم ها
سادهترین چندضلعی شبکهای، مثلث است. همهٔ مثلثهای شبکهای را میتوان با فرمول پیک تحلیل کرد. اما یک سوال جالب: آیا یک مثلث متساویالاضلاع4 میتواند یک مثلث شبکهای باشد؟ پاسخ منفی است. اثبات این موضوع پیچیده است اما به زبان ساده، نمیتوان سه نقطه با مختصات صحیح یافت که فاصلهٔ دقیقاً یکسانی از هم داشته باشند. پس هیچ مثلث متساویالاضلاع کاملی روی شبکه وجود ندارد.
در مورد چندضلعیهای منتظم5 (اشکالی با همه ضلعها و زاویههای برابر) اوضاع جالبتر است. مربع سادهترین چندضلعی منتظم شبکهای است (مانند مربعی به ضلع 1 واحد). اما مثلاً یک پنجضلعی منتظم یا هفتضلعی منتظم نمیتواند یک چندضلعی شبکهای باشد. در حقیقت، روی شبکهٔ مختصات صحیح، تنها چندضلعیهای منتظم ممکن، مربعها هستند. این یک محدودیت زیبای عددی-هندسی است.
از بازی تا نقشهبرداری: دنیای کاربردهای چندضلعی شبکهای
شاید فکر کنید این مفاهیم فقط بازی با اعداد است، اما کاربردهای عملی جالبی دارند. در طراحی بازیهای کامپیوتری و گرافیک، تصاویر از نقاط ریزی به نام پیکسل تشکیل شدهاند که خود یک شبکهٔ منظم است. تشخیص مرز اشیاء و محاسبهٔ مساحت ناحیههای خاص در تصویر، از ایدههای مشابه استفاده میکند.
در نقشهبرداری و تقسیمبندی زمینهای کشاورزی یا شهری، اگر نقشه را روی شبکهای با مقیاس مناسب بیندازیم، میتوان مرز یک منطقه (مثلاً یک پارک یا مزرعه) را با یک چندضلعی شبکهای تقریب زد و سپس با روشهایی شبیه فرمول پیک، مساحت تقریبی آن را به سرعت محاسبه کرد. این روشها در علوم رایانه و طراحی الگوریتم بسیار مهم هستند.
مثال عملی: معلمی از دانشآموزان میخواهد مساحت یک شکل نامنظم که روی کاغذ شطرنجی کشیده شده را پیدا کنند. به جای استفاده از روشهای سخت، دانشآموزان میتوانند نقاط داخل و روی مرز شکل را بشمارند و با فرمول پیک، مساحت را در کمترین زمان به دست آورند.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. شرط اصلی این است که همهٔ رأسها دقیقاً روی نقاط تقاطع خطوط (نقاط شبکه) قرار بگیرند. ممکن است شکلی روی کاغذ شطرنجی کشیده شود اما گوشههایش بین خطوط باشد، که در این صورت چندضلعی شبکهای محسوب نمیشود.
پاسخ: خیر. فرمول پیک فقط برای چندضلعیهای سادهٔ شبکهای صحیح است. یعنی چندضلعیهایی که ضلعهایشان یکدیگر را قطع نکنند و سوراخ نداشته باشند. برای چندضلعیهای دارای سوراخ یا خودمتقاطع، فرمول پیچیدهتر یا متفاوتی نیاز است.
پاسخ: بله، قطعاً. شرط نقطهٔ شبکهای این است که هر دو مختصات x و y عددی صحیح باشند. صفر نیز یک عدد صحیح است. بنابراین نقاطی مانند (0,0)، (5,0) یا (0, -2) همگی نقاط شبکهای معتبر هستند.
پاورقی
1 چندضلعی شبکهای (Lattice Polygon): چندضلعیای که تمام رأسهای آن نقاطی با مختصات عدد صحیح در صفحهٔ مختصات دکارتی باشند.
2 فرمول پیک (Pick's Theorem): قضیهای در هندسه ترکیبیاتی که رابطهای بین مساحت یک چندضلعی سادهٔ شبکهای، تعداد نقاط مرزی و تعداد نقاط داخلی آن برقرار میکند.
3 شبکهٔ نقطهای (Point Lattice / Grid): مجموعهای از نقاط در صفحه که مختصات آنها جفتهای مرتبی از اعداد صحیح است.
4 مثلث متساویالاضلاع (Equilateral Triangle): مثلثی که طول هر سه ضلع آن با هم برابر است.
5 چندضلعی منتظم (Regular Polygon): چندضلعیای که همهٔ ضلعها و همهٔ زاویههای داخلی آن با هم برابر باشند.
