ارتفاع وارد بر وتر: پارهخطی کلیدی در مثلث قائمالزاویه
از شناخت اجزا تا درک یک رابطهی طلایی
مثلث قائمالزاویه و اعضای اصلی آن
پیش از هر چیز، باید با بازیگران اصلی صحنه آشنا شویم. یک مثلث قائمالزاویه، مثلثی است که یکی از زوایای آن برابر با 90 درجه یا یک زاویهی قائمه است. به ضلع روبروی این زاویهی قائمه، وتر میگوییم که طولترین ضلع مثلث نیز هست. دو ضلع دیگر که زاویهی قائمه را تشکیل میدهند، ساقها7 نام دارند. حالا فرض کنید از رأس زاویهی قائمه (محل برخورد دو ساق)، خطی عمود بر وتر رسم کنیم. این خط، ارتفاع وارد بر وتر نامیده میشود. این ارتفاع، وتر را به دو بخش کاملاً مجزا تقسیم میکند.
| نام جزء | نماد رایج | توضیح | نماد در شکل |
|---|---|---|---|
| وتر | c یا AB | ضلع روبروی زاویهی قائمه و طولترین ضلع. | پارهخط AB |
| ساقها | a, b یا AC, BC | دو ضلع تشکیلدهندهی زاویهی 90 درجه. | پارهخطهای AC و BC |
| ارتفاع وارد بر وتر | h | پارهخط عمودی از رأس قائمه (C) به وتر (AB). | پارهخط CH |
| فاصلهی پاهای ارتفاع روی وتر | p, q | بخشهایی که ارتفاع، وتر را به آنها تقسیم میکند. (AH و HB) | پارهخطهای AH (یا q) و HB (یا p) |
قضیهی ارتفاع: رابطهای جادویی بین قطعات
وقتی ارتفاع وارد بر وتر را رسم میکنیم، یک ویژگی شگفتانگیز و بسیار مفید پدید میآید. این ارتفاع، میانگین هندسی8 دو پارهخطی است که روی وتر ایجاد کرده است. به زبان ریاضی و ساده:
$ h^2 = p \times q $
که در آن:
$ h $: طول ارتفاع وارد بر وتر.
$ p $ و $ q $: طول دو پارهخطی که ارتفاع، وتر را به آنها تقسیم کرده است ($ p + q = c $).
مثال: فرض کنید در یک مثلث قائمالزاویه، ارتفاع وارد بر وتر، وتر را به دو قطعهی 3 سانتیمتر و 12 سانتیمتر تقسیم کند. طول ارتفاع چقدر است؟
طبق قضیه: $ h^2 = 3 \times 12 = 36 $. پس $ h = \sqrt{36} = 6 $ سانتیمتر.
تشابه مثلثها: چرا این قضیه کار میکند؟
برای دانشآموزان سطح بالاتر، درک دلیل قضیهی ارتفاع جالب است. وقتی ارتفاع $ CH $ را رسم میکنیم، مثلث اصلی به دو مثلث قائمالزاویهی کوچکتر تقسیم میشود: $ \triangle AHC $ و $ \triangle CHB $.
میتوان ثابت کرد که این دو مثلث کوچک، نه تنها با هم، بلکه هر دو با مثلث بزرگ اصلی $ \triangle ACB $ نیز متشابه9 هستند. از نسبتهای بین اضلاع متناظر در این مثلثهای متشابه، قضیهی ارتفاع و همچنین قضیهی مشهور قضیهی اقلیدس10 (رابطهی هر ساق با وتر و قطعهی مجاورش) به دست میآیند.
$ a^2 = p \times c $ و $ b^2 = q \times c $
که در آن $ a $ و $ b $ طول ساقها، و $ c $ طول وتر است.
محاسبات کاربردی: یافتن گمشدهها با ارتفاع
ارتفاع وارد بر وتر، یک ابزار حلمسئلهی قدرتمند است. فرض کنید در یک مسئله فقط طول دو ساق مثلث قائمالزاویه را میدانیم. چگونه میتوانیم طول ارتفاع وارد بر وتر را بیابیم؟
روش گامبهگام:
1. ابتدا طول وتر ($ c $) را با استفاده از قضیهی فیثاغورث محاسبه میکنیم: $ c = \sqrt{a^2 + b^2} $.
2. سپس، با استفاده از فرمول مساحت مثلث از دو راه مختلف، ارتفاع وارد بر وتر را پیدا میکنیم. مساحت مثلث قائمالزاویه هم از طریق نصف حاصلضرب ساقها به دست میآید و هم از طریق نصف حاصلضرب وتر در ارتفاع وارد بر آن.
$ \frac{1}{2} \times a \times b = \frac{1}{2} \times c \times h $
با سادهسازی: $ a \times b = c \times h $
پس: $ h = \frac{a \times b}{c} $
مثال عینی: یک زمین کشاورزی به شکل مثلث قائمالزاویه داریم که دو ضلع عمود بر هم (ساقها) آن 6 متر و 8 متر هستند. میخواهیم یک مسیر آبیاری مستقیم از گوشهی قائمه به طولترین ضلع (وتر) ایجاد کنیم. این مسیر (ارتفاع) چقدر باید باشد؟
1. طول وتر: $ c = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 $ متر.
2. طول مسیر (ارتفاع): $ h = \frac{6 \times 8}{10} = \frac{48}{10} = 4.8 $ متر.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. این ارتفاع فقط در یک حالت خاص و آن هم وقتی که مثلث قائمالزاویه، متساویالساقین باشد، وتر را به دو نیمهی مساوی تقسیم میکند. در سایر حالات، دو قطعهی ایجاد شده روی وتر طولهای متفاوتی دارند.
پاسخ: این دو مفهوم کاملاً متفاوت هستند:
| ویژگی | ارتفاع وارد بر وتر | میانه وارد بر وتر |
|---|---|---|
| تعریف | پارهخط عمود از رأس قائمه به وتر | پارهخط از رأس قائمه به وسط وتر |
| طول | همیشه از نصف وتر کوتاهتر است (مگر در مثلث متساویالساقین). | همیشه دقیقاً نصف وتر است ($ m_c = c/2 $). |
| کاربرد در اثبات | قضیهی ارتفاع و تشابه | اثبات رابطهی دایرهی محیطی مثلث قائمالزاویه |
پاسخ: مستقیماً از قضیهی ارتفاع استفاده میکنیم: $ h^2 = p \times q $. اگر $ h $ و $ p $ معلوم باشند، آنگاه $ q = \frac{h^2}{p} $.
پاورقی
1 ارتفاع وارد بر وتر (Altitude to the Hypotenuse)
2 پارهخط (Line Segment)
3 رأس (Vertex)
4 قائمه (Right Angle)
5 وتر (Hypotenuse)
6 قضیهی ارتفاع (Geometric Mean Theorem / Altitude Rule)
7 ساقها (Legs)
8 میانگین هندسی (Geometric Mean)
9 متشابه (Similar)
10 قضیهی اقلیدس (Euclid's Theorem)
11 قضیهی ساق (Leg Rule)
