گزاره مرکب: ترکیب چند گزاره ساده
گزاره چیست؟ از جملات خبری تا ارزش درستی
در منطق و ریاضیات، گزاره به جملهای خبری گفته میشود که یا درست است یا نادرست، اما نمیتواند هم درست باشد هم نادرست. به این ویژگی «ارزش درستی5» میگویند. گزارههای ساده، واحدهای سازندهی تفکر منطقی هستند.
مثالهایی از گزاره ساده:
| جمله | آیا گزاره است؟ | توضیح |
|---|---|---|
| تهران پایتخت ایران است. | بله | جملهای خبری با ارزش درستی «درست». |
| امروز هوا چطور است؟ | خیر | جمله پرسشی است و ارزش درستی ندارد. |
| عدد 7 فرد است. | بله | جملهای خبری با ارزش درستی «درست». |
| لطفا ساکت باش. | خیر | جمله امری است و ارزش درستی ندارد. |
عملگرهای منطقی: چسب گزارههای مرکب
برای ساختن گزاره مرکب، گزارههای ساده را با عملگرهای منطقی به هم وصل میکنیم. مهمترین عملگرها عبارتند از: نقیض6 (نَه)، عطف7 (و)، فصل8 (یا)، شرطی9 (اگر-آنگاه) و دوشرطی10 (اگر و تنها اگر).
- نقیض $p$ : $\neg p$
- عطف $p$ و $q$ : $p \land q$
- فصل $p$ یا $q$ : $p \lor q$
مثال کاربردی: فرض کنید گزاره ساده $p$ برابر است با «باران میبارد» و گزاره ساده $q$ برابر است با «من چتر دارم». گزاره مرکب $p \land q$ یعنی «باران میبارد و من چتر دارم». این گزاره تنها زمانی درست است که هر دو جزء آن درست باشند.
جدول ارزش درستی: نقشهخوان منطق
جدول ارزش درستی11، ابزاری است که تمام حالتهای ممکن برای درست یا نادرست بودن گزارههای ساده و نتیجهی نهایی گزاره مرکب را نشان میدهد. این جدول درک عملگرها را بسیار آسان میکند.
| $p$ | $q$ | $\neg p$ (نقیض) | $p \land q$ (عطف) | $p \lor q$ (فصل) |
|---|---|---|---|---|
| درست (T) | درست (T) | نادرست (F) | درست (T) | درست (T) |
| درست (T) | نادرست (F) | نادرست (F) | نادرست (F) | درست (T) |
| نادرست (F) | درست (T) | درست (T) | نادرست (F) | درست (T) |
| نادرست (F) | نادرست (F) | درست (T) | نادرست (F) | نادرست (F) |
همانطور که در جدول میبینید، گزاره $p \land q$ فقط در یک حالت (هر دو درست) درست است. اما گزاره $p \lor q$ فقط زمانی نادرست است که هر دو جزء نادرست باشند. این دقیقاً منطق پشت «یا» در زندگی روزمره است.
کاربرد گزارههای مرکب: از برنامهنویسی تا تصمیمگیری
مفهوم گزاره مرکب تنها یک بحث تئوری نیست. کاربردهای فراوانی دارد:
1. علوم کامپیوتر و برنامهنویسی: شرطها در زبانهای برنامهنویسی بر پایه گزارههای مرکب کار میکنند. مثلاً دستور: «اگر (باران میبارد و چتر ندارم) آنگاه در خانه بمان» را در نظر بگیرید. این یک گزاره مرکب شرطی است که تصمیم رایانه را هدایت میکند.
2. طراحی مدارهای منطقی: در الکترونیک، گیتهای منطقی مانند AND و OR که پایهی ساخت رایانهها هستند، دقیقاً منطق عملگرهای عطف و فصل را پیادهسازی میکنند.
3. استدلال و تصمیمگیری روزمره: وقتی میگوییم «اگر پروژه را تمام کنم و زمان داشته باشم، به سینما میروم»، در حال ساختن یک گزاره مرکب شرطی برای تصمیمگیری هستیم.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، این یک گزاره مرکب است. زیرا از دو گزاره ساده «امروز پنجشنبه است» و «امروز جمعه است» با عملگر فصل («یا») ساخته شده است. این گزاره در روزهای پنجشنبه و جمعه درست و در سایر روزها نادرست است.
پاسخ: در زبان محاوره، گاهی «یا» به معنای انحصاری است (یا این یا آن، نه هر دو). اما در منطق ریاضی، عملگر فصل $\lor$غیرانحصاری است. یعنی اگر هر دو گزاره درست باشند، کل گزاره مرکب «یا» باز هم درست است. برای «یا انحصاری» نماد جداگانهای $\oplus$ وجود دارد.
پاسخ: در منطق، گزاره شرطی تنها به ارزش درستی توجه دارد، نه به رابطه علّی. گزاره «اگر 2+2=5 باشد، آنگاه آسمان آبی است» از نظر منطقی درست محسوب میشود! چون مقدم ($p$) نادرست است. این یکی از پیچیدهترین و جالبترین نکات در منطق گزارههاست.
پاورقی
1 گزاره مرکب (Compound Proposition)
2 گزاره (Proposition)
3 گزاره ساده (Simple / Atomic Proposition)
4 عملگرهای منطقی (Logical Operators / Connectives)
5 ارزش درستی (Truth Value)
6 نقیض (Negation)
7 عطف (Conjunction)
8 فصل (Disjunction)
9 شرطی (Conditional)
10 دوشرطی (Biconditional)
11 جدول ارزش درستی (Truth Table)
