مقاطع مخروطی: منحنی‌های حاصل از برش مخروط

از مخروط تا منحنی: تولد هندسه نوین

مخروط و صفحه: بازی برش‌ها

تصور کنید یک مخروط کاغذی یا یک کلاه جشن دارید. حالا یک تیغه‌ی تیز (صفحه) را با زوایای مختلف به داخل آن فرو می‌برید. شکل محل برخورد لبه‌ی تیغه با سطح مخروط، یک مقطع مخروطی است. به زبان ریاضی، یک مخروط دایرهای قائم، جامدی است که از چرخاندن یک خط راست حول محور عمود بر قاعده آن به‌وجود می‌آید. این مخروط دو پخ (nappe) دارد: یکی بالا و یکی پایین. وقتی یک صفحه این مخروط دوپخه را قطع می‌کند، بسته به زاویه‌ی برخورد، یکی از چهار منحنی اصلی حاصل می‌شود.

معرفی و فرمول‌سازی هر یک از مقاطع

حالا هر یک از این منحنی‌های جذاب را دقیق‌تر بررسی می‌کنیم و با فرمول ساده‌ی استاندارد آنها آشنا می‌شویم. فرض کنید یک صفحه‌ی مختصات دکارتی داریم.

۱. دایره: مجموعه تمام نقاطی که فاصله‌ی آن‌ها از یک نقطه‌ی ثابت (مرکز) یکسان است. اگر شعاع دایره را $ r $ در نظر بگیریم، فرمول استاندارد آن این است:

$ (x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2 $

مثال: معادله $ (x - 2)^2 + (y + 1)^2 = 9 $ نشان می‌دهد دایره‌ای با مرکز $ (2, -1) $ و شعاع $ 3 $ داریم (چون $ 9 = 3^2 $).

۲. بیضی: مجموعه نقاطی که مجموع فاصله‌های آن‌ها از دو نقطه‌ی ثابت (کانون¹) مقداری ثابت است. شبیه دایره‌ای کشیده یا فشرده. فرمول اصلی:

$ \frac{(x - h)^2}{a^2} + \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 $

اگر $ a > b $، محور اصلی در راستای x و اگر $ b > a $، محور اصلی در راستای y است. مثال کاربردی: مدار سیارات به دور خورشید دقیقاً بیضی هستند که خورشید در یکی از کانون‌های آن قرار دارد.

۳. سهمی: مجموعه نقاطی که فاصله‌ی آن‌ها از یک نقطه‌ی ثابت (کانون) و یک خط ثابت (جهارل‌مستقیم²) برابر است. ساده‌ترین فرم آن:

$ y = a(x - h)^2 + k $

اگر $ a > 0 $ سهمی رو به بالا و اگر $ a رو به پایین است. مثال: شکل دهانه‌ی یک پل معلق یا مسیر آب فواره.

۴. هذلولی: مجموعه نقاطی که تفاضل فاصله‌های آن‌ها از دو نقطه‌ی ثابت (کانون) مقداری ثابت است. دو منحنی جدا از هم به شکل کمان باز. فرمول اصلی:

$ \frac{(x - h)^2}{a^2} - \frac{(y - k)^2}{b^2} = 1 $

این منحنی دو شاخه دارد. مثال: در طراحی برخی سیستم‌های ناوبری و مدارهای نوری از خاصیت بازتابی هذلولی استفاده می‌شود.

مقاطع مخروطی در دنیای واقعی و فناوری

این منحنی‌ها فقط تئوری نیستند؛ آن‌ها در اطراف ما و در قلب بسیاری از فناوری‌ها جاری هستند. در این بخش به چند نمونه ملموس اشاره می‌کنیم:

• ستاره‌شناسی و فضا: همانطور که گفتیم، مدار سیارات و دنباله‌دارها به دور خورشید بیضی است. حتی فضاپیماها برای تغییر مدار خود، در مسیرهای سهمی‌وار یا هذلولی‌وار حرکت می‌کنند. آنتن‌های پارابولیک (سهمی‌گون) که سیگنال‌های تلویزیون ماهواره‌ای یا امواج رادیویی تلسکوپ‌ها را جمع‌آوری می‌کنند، سطحی سهموی دارند که همه‌ی امواج موازی را در یک نقطه (کانون) متمرکز می‌کنند.
• مهندسی عمران و معماری: قوس‌های سهمی‌وار در پل‌ها (مثل پل کابلی) به‌دلیل توزیع مناسب نیرو، بسیار مستحکم هستند. طاق‌های بیضی‌شکل در بناهای تاریخی مانند پانتئون روم دیده می‌شوند. حتی در طراحی چراغ‌های جلو خودرو و چراغ قوه از بازتابنده‌های سهموی استفاده می‌شود تا نور را به صورت پرتوهای موازی و متمرکز خارج کند.
• علوم پزشکی: در دستگاه‌های لیتوتریپتر که برای خرد کردن سنگ کلیه استفاده می‌شوند، امواج شوک از یک منبع در یک بازتابنده‌ی بیضی‌گون تولید می‌شوند و در کانون دیگر (جایی که سنگ کلیه قرار دارد) متمرکز می‌شوند.
• زندگی روزمره: وقتی یک توپ بسکتبال را به سمت حلقه پرتاب می‌کنید، مسیر آن یک سهمی است (اگر از اثر هوا صرف‌نظر کنیم). برش‌های مایل یک هویج یا خیار، مقطع بیضی به شما می‌دهد. حتی اگر یک چراغ قوه را به دیوار بتابانید و آن را کج کنید، لبه‌ی نور می‌تواند یک هذلولی ایجاد کند!

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

¹کانون (Focus): نقطه یا نقاط ثابت ویژه‌ای در تعریف هندسی بیضی، سهمی و هذلولی. مثلاً در بیضی، مجموع فاصله‌های هر نقطه از دو کانون ثابت است.
²جهارل‌مستقیم (Directrix): خط ثابتی که در تعریف سهمی و دیگر مقاطع به کار می‌رود. در سهمی، فاصله‌ی هر نقطه از منحنی تا کانون و تا این خط، برابر است.
³مجانب (Asymptote): خطی که یک منحنی (مانند هذلولی) به طور نامحدود به آن نزدیک می‌شود ولی هرگز آن را قطع یا لمس نمی‌کند.