دوران حول محور: چرخاندن شکل حول یک خط ثابت
دوران چیست؟ از ایده تا تعریف
فرض کنید یک قطعه کاغذ بردارید و روی آن یک مثلث بکشید. حالا یک سوزن را دقیقاً روی یکی از رأسهای مثلث ثابت کرده و کاغذ را کمی بچرخانید. مثلث شما چرخیده است اما شکل و اندازهی آن تغییر نکرده است. این سادهترین تصویر از یک دوران است. در ریاضیات، به این عمل، یک تبدیل5 هندسی میگویند. در دوران، سه رکن اصلی داریم:
- مرکز یا محور دوران: نقطه یا خط ثابتی که شکل حول آن میچرخد. مانند محور چرخ دوچرخه یا نقطهی ثابت سوزن در مثال بالا.
- زاویهی دوران: میزان چرخش که با واحد درجه (°) یا رادیان (rad) اندازهگیری میشود. مثلاً 90°، 180°، -45°.
- جهت دوران: معمولاً چرخش در خلاف جهت حرکت عقربههای ساعت را جهت مثبت و چرخش موافق عقربههای ساعت را جهت منفی در نظر میگیریم.
وقتی محور دوران، یک خط باشد (مانند چرخش یک در حول لولای آن)، شکل در فضای سهبعدی میچرخد. اما اغلب در هندسهی صفحه، دوران حول یک نقطه را مطالعه میکنیم که میتوان آن را تصویر دوران حول یک محور عمود بر صفحه در نظر گرفت.
$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$
$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$
انواع و ویژگیهای دوران: یک نگاه طبقهبندیشده
دوران را میتوان بر اساس معیارهای مختلفی دستهبندی کرد. در جدول زیر، مهمترین انواع و ویژگیهای آن برای درک بهتر آمده است.
| معیار دستهبندی | نوع/ویژگی | توضیح و مثال |
|---|---|---|
| مکان محور/مرکز | دوران حول یک نقطه (در صفحه) | چرخش عقربههای ساعت حول محور وسط آن. همهی نقاط شکل در صفحه حرکت میکنند. |
| دوران حول یک خط (محور در فضا) | چرخش زمین حول محور قطبی خود. شکل در فضای سهبعدی میچرخد. | |
| اندازه زاویه | دوران جزئی (غیر 360°) | چرخش یک در به اندازه 90° برای باز شدن. |
| دوران کامل (360°) | چرخش یک چرخوفلک. شکل دقیقاً به جای اول خود برمیگردد. به آن دوران همانی6 نیز میگویند. | |
| ویژگیهای ثابت (ناشناخته) | فاصله، اندازه زاویه، جهت | در یک دوران، فاصله هر نقطه از شکل تا مرکز دوران ثابت میماند. اندازهی اضلاع و زوایای شکل تغییر نمیکند. جهت شکل (مثلاً ساعتگرد بودن یا نبودن) حفظ میشود. |
| جهت دوران | مثبت (پادساعتگرد) و منفی (ساعتگرد) | در ریاضیات، چرخش بر خلاف حرکت عقربههای ساعت معمولاً مثبت در نظر گرفته میشود. این یک قرارداد است. |
دوران در زندگی و فناوری: از لولا تا موتور جت
مفهوم انتزاعی دوران، در همهجای زندگی و فناوری مدرن حاضر است. بیایید چند مثال عملی را با جزئیات بیشتری بررسی کنیم:
مثال ۱: چرخ دندهها در ساعت مچی یا جعبه دندهی خودرو، هر چرخ دنده حول یک محور ثابت (میله یا شفت7) میچرخد. دوران یک چرخ دنده، باعث دوران چرخ دندهی درگیر با آن میشود. این انتقال حرکت دورانی، اساس کار بسیاری از ماشینهاست. نسبت چرخش آنها با تعداد دندانهها تعیین میشود.
مثال ۲: چرخش سیارات زمین در دو نوع حرکت دورانی شرکت دارد: حرکت وضعی (چرخش حول محور خود که باعث ایجاد روز و شب میشود) و حرکت انتقالی (چرخش حول محور خورشید که باعث ایجاد فصلها میشود). محور دوران زمین خطی فرضی است که از قطب شمال به قطب جنوب میرود و نسبت به صفحهی مداری کج است.
مثال ۳: گرافیک کامپیوتری و انیمیشن وقتی در یک بازی کامپیووری، شخصیت بازی میچرخد یا وقتی در نرمافزارهای طراحی، یک شی را میچرخانید، همهی اینها با محاسبات دقیق دوران نقاط تشکیلدهندهی آن شی حول یک مرکز یا محور انجام میشود. برنامهنویسان از فرمولهایی مشابه فرمول ارائه شده در باکس قبل استفاده میکنند.
مثال ۴: توربینها پرههای توربین بادی یا توربینهای موجود در موتور جت، حول یک شفت مرکزی میچرخند. این دوران مکانیکی، انرژی باد یا انرژی گرمایی حاصل از احتراق را به انرژی الکتریکی یا نیروی پیشران تبدیل میکند.
پرسشهای مهم و اشتباهات رایج
خیر. یکی از ویژگیهای اصلی و تعریفکنندهی دوران، حفظ فاصلههاست. اگر اندازهی شکل تغییر کند، آن تبدیل، تشابه8 یا تجانس9 است، نه یک دوران خالص. در دوران، شکل فقط جابجا و چرخیده میشود.
هرگز! مرکز یا محور دوران میتواند در هر نقطهای از صفحه یا فضا قرار گیرد. میتواند داخل شکل، روی لبهی آن یا حتی کاملاً خارج از شکل باشد. برای مثال، زمین حول محوری میچرخد که از مرکز آن میگذرد، اما یک پروانهی سقف حول محوری میچرخد که در مرکز آن اما خارج از پرهها قرار دارد.
تقارن مرکزی یک حالت خاص از دوران است. اگر یک شکل را دقیقاً به اندازهی 180° (نصف دور) حول یک نقطه بچرخانید، حاصل تقارن مرکزی نسبت به آن نقطه است. بنابراین، هر تقارن مرکزی یک دوران است، اما هر دورانی (مثلاً 90°) لزوماً تقارن مرکزی نیست.
پاورقی
1 دوران (Rotation)
2 هندسی (Geometric)
3 مرکز دوران (Center of Rotation)
4 محور دوران (Axis of Rotation)
5 تبدیل (Transformation)
6 دوران همانی (Identity Rotation) – دورانی که شکل را تغییر نمیدهد.
7 شفت (Shaft) – میلهای که انتقال نیروی دورانی را بر عهده دارد.
8 تشابه (Similarity)
9 تجانس (Dilation/Scaling)
