کرهای در یک استوانه: یک جفت هندسی کامل
شرط مماس بودن: چه زمانی یک توپ کاملاً در قوطی جا میشود؟
برای اینکه یک کره به طور کامل و بدون فاصله با تمام سطح داخلی یک استوانه مماس باشد، باید سه شرط اصلی برقرار شود:
| بخش استوانه | شرط مماس با کره | تصویر ذهنی |
|---|---|---|
| دیوارههای جانبی | شعاع کره (r) با شعاع استوانه برابر است. | توپ دقیقاً از پهلو به دیواره قوطی چسبیده است. |
| کف و سقف (دو پایه دایرهای) | ارتفاع استوانه (h) با قطر کره برابر است. یعنی $h = 2r$. | توپ از بالا و پایین به در قوطی فشار آورده است. |
| نتیجه کلی | ارتفاع استوانه دو برابر شعاع آن است $(h = 2r)$. | استوانه شکلی کشیده و دقیقاً به اندازه قطر توپ ارتفاع دارد. |
پس رابطه اصلی این است: اگر شعاع کره $r$ باشد، آنگاه استوانهای که این کره به طور کامل در آن مماس است، باید شعاع پایهای برابر $r$ و ارتفاعی برابر $2r$ داشته باشد. به این حالت، محاط4 بودن کره در استوانه میگویند.
$R_{cylinder} = r_{sphere}$ و $h_{cylinder} = 2 \times r_{sphere}$
نسبتهای حجم و مساحت: چه مقدار از فضای قوطی پر میشود؟
حالا میخواهیم بدانیم این کره چه بخشی از فضای داخل استوانه را اشغال میکند. برای این کار، حجم کره و حجم استوانه را با هم مقایسه میکنیم. فرمول حجم کره $V_s = \frac{4}{3} \pi r^3$ و حجم استوانه $V_c = \pi r^2 h$ است. اما یادت هست که در این حالت خاص $h = 2r$؟ پس حجم استوانه میشود: $V_c = \pi r^2 \times (2r) = 2 \pi r^3$.
حالا نسبت حجم کره به حجم استوانه را حساب میکنیم:
$\frac{V_s}{V_c} = \frac{\frac{4}{3} \pi r^3}{2 \pi r^3} = \frac{\frac{4}{3}}{2} = \frac{4}{3} \times \frac{1}{2} = \frac{2}{3}$
این یک نتیجه شگفتانگیز است! بدون در نظر گرفتن اندازه کره، همیشه حجم کرهای که به این شکل در استوانه محاط شده، دقیقاً دو سوم (۲/۳) حجم استوانه را پر میکند. یعنی یک سوم از فضای استوانه خالی میماند.
شکل ایدهآل برای بستهبندی: از توپ تنیس تا قوطی رنگ
شاید فکر کنید این یک مفهوم صرفاً ریاضی است، اما مثالهای ملموس زیادی در اطراف ما وجود دارد. به یک قوطی استوانهای توپ تنیس فکر کنید. توپ تنیس یک کره است. قوطی آن معمولاً طوری طراحی میشود که توپ کاملاً در آن جای گیرد و به دیوارهها بچسبد. اگر قوطی فقط برای یک توپ باشد، ارتفاع آن تقریباً برابر قطر توپ و عرض آن هم برابر قطر توپ است. این همان رابطه $h=2r$ است.
یا مثلاً بعضی از بستهبندیهای شکلاتهای کروی شکل را در نظر بگیرید. برای اینکه شکلات در حین حمل آسیب نبیند و تکان نخورد، آن را در استوانهای میگذارند که شکلات دقیقاً به دیواره و درپوش آن مماس باشد.
در صنعت نیز این مفهوم کاربرد دارد. مثلاً در طراحی بعضی از مخازن تحت فشار کروی که داخل محفظههای استوانهای نگهداری میشوند، این روابط برای محاسبه فضای لازم و ابعاد محفظه استفاده میشود.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاورقی
1کره (Sphere): یک جسم هندسی کاملاً گرد سهبعدی که همه نقاط روی سطح آن از یک نقطه ثابت (مرکز) به یک فاصله (شعاع) هستند. مانند یک توپ کامل.
2استوانه (Cylinder): یک جسم هندسی با دو پایه دایرهای مساوی و یک سطح جانبی خمیده.
3مماس (Tangent): در هندسه، وقتی دو شکل در یک نقطه یا یک خط با هم تماس داشته باشند، بدون آن که یکدیگر را قطع کنند، به هم مماس هستند.
4محاط (Inscribed): به حالتی گفته میشود که یک شکل کاملاً درون شکل دیگری قرار گرفته و با آن در تماس (مماس) باشد.
