باقیمانده تقسیم چندجملهای: نتیجه نهایی یک تقسیم
تقسیم چندجملهای: از اعداد به عبارات
همه ما تقسیم اعداد را بلدیم. مثلاً وقتی 17 را بر 5 تقسیم میکنیم، میشود 3 و باقیمانده میماند 2. میتوانیم بنویسیم: $17 = (5 \times 3) + 2$.
حالا تصور کنید به جای اعداد، چندجملهای داشته باشیم. چندجملهایها عبارتهای جبریای مانند $x^2 + 3x + 2$ هستند. ما میتوانیم یک چندجملهای را بر چندجملهای دیگر تقسیم کنیم. اگر تقسیم مطابق قواعد جبری به صورت کامل انجام نشود، در پایان یک چندجملهای دیگر به عنوان باقیمانده باقی میماند.
روش گام به گام: تقسیم طولانی چندجملهای
سادهترین راه برای یافتن خارجقسمت۵ و باقیمانده، استفاده از تقسیم طولانی است، دقیقاً مثل روشی که در ابتدایی یاد گرفتیم. بیایید با یک مثال پیش برویم:
مثال: چندجملهای $P(x) = 2x^3 + 3x^2 - 5x + 1$ را بر $D(x) = x - 2$ تقسیم کنید.
مراحل به صورت گام به گام در جدول زیر نمایش داده شدهاند:
| گام | عملیات | توضیح |
|---|---|---|
| 1 | $2x^3 / x = 2x^2$ | جمله اول مقسوم بر جمله اول مقسومعلیه. |
| 2 | $2x^2 \times (x-2) = 2x^3 - 4x^2$ | حاصل را در کل مقسومعلیه ضرب میکنیم. |
| 3 | $(2x^3+3x^2) - (2x^3-4x^2) = 7x^2$ | حاصل ضرب را از مقسوم کم میکنیم. سپس جمله بعدی ($-5x$) را پایین میآوریم. |
| 4 |
$7x^2 / x = 7x$ $7x \times (x-2) = 7x^2 - 14x$ $(7x^2-5x) - (7x^2-14x) = 9x$ |
فرآیند را تکرار میکنیم: تقسیم، ضرب، تفریق و پایین آوردن جمله بعدی ($+1$). |
| 5 |
$9x / x = 9$ $9 \times (x-2) = 9x - 18$ $(9x+1) - (9x-18) = 19$ |
آخرین تکرار. حالا دیگر نمیتوانیم $19$ را بر $x$ تقسیم کنیم (چون درجهاش کمتر است). |
پس نتیجه تقسیم میشود:
$\text{خارجقسمت} = Q(x) = 2x^2 + 7x + 9$
$\text{باقیمانده} = R(x) = 19$
و میتوانیم بنویسیم: $P(x) = D(x) \times Q(x) + R(x)$ یا $(2x^3+3x^2-5x+1) = (x-2)(2x^2+7x+9) + 19$.
یک میانبر معروف: قضیه باقیمانده
وقتی مقسومعلیه ما به شکل ساده $(x - a)$ باشد (مثل $x-2$)، یک راه بسیار سریعتر برای یافتن باقیمانده وجود دارد: قضیه باقیمانده.
مثال: در مثال قبل، $P(x)=2x^3+3x^2-5x+1$ و مقسومعلیه $(x-2)$ بود (پس $a=2$). طبق قضیه، باقیمانده $P(2)$ است:
$P(2) = 2(2)^3 + 3(2)^2 - 5(2) + 1 = 16 + 12 - 10 + 1 = 19$.
همان جوابی که با تقسیم طولانی به دست آوردیم! این روش برای بررسی سریع باقیمانده عالی است.
کاربرد در دنیای واقعی: تقسیم منابع و طراحی
شاید فکر کنید این مفاهیم فقط در کتاب ریاضی کاربرد دارند. اما مثال سادهای بزنیم: شما 300 متر پارچه دارید و میخواهید برای هر لباس 4 متر پارچه استفاده کنید. تقسیم میکنید: $300 \div 4 = 75$ باقیمانده 0. پس پارچه دقیق جواب میدهد.
اما اگر برای هر لباس 7 متر لازم بود: $300 \div 7 = 42$ باقیمانده 6. یعنی 42 لباس کامل میشود و 6 متر پارچه اضافه (باقیمانده) میماند که برای یک لباس دیگر کافی نیست.
در مهندسی و طراحی، گاهی منحنیها و شکلها با چندجملهایها مدلسازی میشوند. وقتی میخواهند بدانند یک منحنی خاص ($P(x)$) چقدر با یک خط ساده ($x-a$) فاصله دارد، مفهوم باقیمانده به کار میآید. این فاصله (باقیمانده) میتواند خطای اندازهگیری یا مقدار اصلاح مورد نیاز را نشان دهد.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر. باقیمانده یک چندجملهای است، اما درجه آن حتماً از درجه مقسومعلیه کمتر است. اگر مقسومعلیه درجه 1 داشته باشد (مثل $x-5$)، آنگاه درجه باقیمانده باید کمتر از 1 باشد، یعنی یک عدد ثابت (درجه 0) مانند $7$ یا $-3$. اگر مقسومعلیه درجه 2 باشد (مثل $x^2+1$)، باقیمانده میتواند یک چندجملهای درجه 1 مانند $2x+1$ باشد.
پاسخ: این بهترین حالت است! به آن تقسیم پذیری میگویند. یعنی مقسومعلیه عیناً میتواند مقسوم را بشکند، بدون هیچ اضافهای. در این حالت، مقسومعلیه یکی از عاملهای چندجملهای مقسوم است. مثلاً اگر تقسیم $x^2-9$ بر $(x-3)$ باقیمانده صفر بدهد، یعنی $(x-3)$ عاملی از $x^2-9$ است.
پاسخ: دو اشتباه بسیار رایج وجود دارد: ۱) ترتیب نوشتن جملات: حتماً باید چندجملهایها را از بزرگترین درجه به کوچکترین درجه بنویسیم (مثلاً $x^3 + x + 5$ اشتباه است، باید $x^3 + 0x^2 + x + 5$ بنویسیم تا جایگاه جمله $x^2$ خالی نماند). ۲) اشتباه در علامتها هنگام تفریق: وقتی حاصل ضرب را از مقسوم کم میکنیم، باید علامت همهی جملات حاصل ضرب را تغییر دهیم و سپس جمع کنیم.
پاورقی
۱ چندجملهای (Polynomial): عبارت جبری شامل چند جمله که هر جمله شامل ضریب و متغیر با توان عدد صحیح نامنفی است.
۲ قضیه باقیمانده (Remainder Theorem): قضیهای که رابطه مستقیم بین باقیمانده تقسیم بر $(x-a)$ و مقدار عددی چندجملهای در نقطه $x=a$ را بیان میکند.
۳ درجه (Degree): بزرگترین توان متغیر در یک چندجملهای.
۴ مقسومعلیه (Divisor): چندجملهای که مقسوم را بر آن تقسیم میکنیم.
۵ خارجقسمت (Quotient): نتیجه اصلی تقسیم (قسمت صحیح تقسیم).
