عبارت جبری: ترکیبی از اعداد، متغیرها و اعمال ریاضی

بروزرسانی شده در: 13:18 1404/09/12 مشاهده: 2 دسته بندی: کپسول آموزشی

عبارت جبری: زبان رمزگشایی دنیای اطراف ما

آموزش مفاهیم پایه‌ای جبر با مثال‌های ملموس از زندگی روزمره برای دانش‌آموزان پایه نهم.

خلاصه: در این مقاله به بررسی کامل عبارت جبری¹ به عنوان ترکیبی از اعداد، متغیرها و عمل‌های ریاضی می‌پردازیم. با ذکر مثال‌هایی از خرید، محاسبه‌ی مساحت و سرعت، چگونگی تشکیل و ساده‌سازی این عبارات را یاد می‌گیریم. همچنین انواع عبارات، اجزای تشکیل‌دهنده‌ی آن‌ها مانند متغیر² و ضریب³، و عبارات چندجمله‌ای⁴ به زبانی ساده توضیح داده می‌شود تا درک این مفهوم پایه‌ای ریاضی برای دانش‌آموزان آسان‌تر گردد.

عبارت جبری چیست و از چه اجزایی ساخته می‌شود؟

یک عبارت جبری، مانند یک دستورالعمل یا یک فرمول است که از ترکیب اعداد، حروف (متغیرها) و علامت‌های عملیاتی (مانند +، -، ×، ÷، توان) تشکیل شده است. این حروف، نماینده‌ی اعدادی هستند که مقدارشان را نمی‌دانیم یا می‌تواند تغییر کند.

مثال از زندگی: فرض کنید قیمت هر بسته شیر 2000 تومان و هر بسته بیسکویت 5000 تومان است. اگر تعداد بسته‌های شیر را با حرف $x$ و تعداد بسته‌های بیسکویت را با $y$ نشان دهیم، کل مبلغ خرید ما به صورت زیر خواهد بود:

عبارت جبری کل مبلغ:$2000x + 5000y$

این عبارت می‌گوید: «هزینه‌ی کل، برابر است با (قیمت شیر × تعداد شیر) به علاوه‌ی (قیمت بیسکویت × تعداد بیسکویت)». اگر 3 بسته شیر و 2 بسته بیسکویت بخریم، به جای $x$ عدد 3 و به جای $y$ عدد 2 را قرار می‌دهیم: $(2000 \times 3) + (5000 \times 2) = 6000 + 10000 = 16000$ تومان.

نام جزء	تعریف	مثال در عبارت $5a^2 - 3b + 7$
متغیر²	حروفی که به جای اعداد ناشناخته یا متغیر قرار می‌گیرند.	$a$ و $b$
ضریب³	عددی که در یک جمله، متغیر را ضرب می‌کند.	در $5a^2$، ضریب 5 است. در $-3b$، ضریب -3 است.
عبارت ثابت	عددی که به تنهایی و بدون متغیر در عبارت وجود دارد.	7
عامل (توان)	عددی کوچک و بالانویس که نشان‌دهنده‌ی تعداد دفعات ضرب متغیر در خودش است.	در $a^2$، توان عدد 2 است (یعنی $a \times a$).
جمله	هر بخش از عبارت که با علامت + یا - از بخش دیگر جدا شده است.	این عبارت سه جمله دارد: $5a^2$، $-3b$ و 7.

انواع عبارات جبری: از ساده تا چندجمله‌ای

عبارات جبری را بر اساس تعداد جملاتشان دسته‌بندی می‌کنیم. این طبقه‌بندی به ما کمک می‌کند راحت‌تر آن‌ها را شناسایی و کار کنیم.

1. یک‌جمله‌ای⁵: عبارتی که فقط یک جمله دارد. مانند: $7x$، $-3y^2$، 15.

2. چندجمله‌ای⁴: عبارتی که از مجموع یا تفاضل چند یک‌جمله‌ای تشکیل شده باشد. خود چندجمله‌ای‌ها نیز بر اساس تعداد جملات نامگذاری می‌شوند:

دو جمله‌ای⁶: دو جمله دارد. مثال: $2a + 5b$ (مانند قیمت دو نوع میوه).
سه جمله‌ای⁷: سه جمله دارد. مثال: $x^2 - 4x + 4$.

نکته عدد به تنهایی هم یک یک‌جمله‌ای محسوب می‌شود (جمله‌ی ثابت).

عبارت‌های جبری در حل مسائل زندگی

بیایید ببینیم چگونه می‌توانیم از این عبارات برای مدل‌سازی و حل مسائل واقعی استفاده کنیم.

مثال 1: محاسبه‌ی مساحت
فرض کنید طول یک باغچه مستطیل شکل $L$ متر و عرض آن $W$ متر باشد. فرمول مساحت مستطیل را می‌دانیم: مساحت = طول × عرض. پس عبارت جبری مساحت می‌شود:

$A = L \times W$ یا به سادگی $A = LW$

اگر طول باغچه 10 متر و عرض آن 5 متر باشد، $A = 10 \times 5 = 50$ متر مربع.

مثال 2: محاسبه‌ی سود یک فروشگاه
یک فروشنده هر جعبه مداد را به قیمت 15000 تومان می‌خرد و به قیمت 20000 تومان می‌فروشد. اگر تعداد جعبه‌های فروخته شده را $n$ بنامیم:

کل پول هزینه شده (خرید): $15000n$
کل پول به دست آمده (فروش): $20000n$

پس سود فروشنده این تفاوت است: $20000n - 15000n$. می‌توانیم این عبارت را ساده‌تر کنیم. هر دو جمله متغیر $n$ دارند، پس ضرایب را با هم جمع می‌کنیم: $(20000 - 15000)n = 5000n$.

این عبارت ساده‌شده یعنی سود فروشنده برابر است با 5000 تومان به ازای هر جعبه مداد. اگر 30 جعبه بفروشد، سود او $5000 \times 30 = 150000$ تومان خواهد بود.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

سوال 1: آیا ترتیب نوشتن متغیرها در ضرب مهم است؟ مثلاً آیا $xy$ با $yx$ فرق دارد؟

پاسخ: خیر، مهم نیست. در ضرب، خاصیت جابجایی وجود دارد. بنابراین $xy$ دقیقاً همان $yx$ است و هر دو به معنی $x \times y$ هستند.

سوال 2: یک اشتباه رایج در نوشتن عبارات برای مسائل کلامی چیست؟

پاسخ: اشتباه در تشخیص عمل‌هاست. مثلاً در مسئله‌ای که می‌گوید «5 واحد از سه برابر یک عدد کم کنید»، بسیاری مستقیماً می‌نویسند $5 - 3x$ که غلط است. باید ابتدا سه برابر عدد ($3x$) را در نظر گرفت، سپس 5 را از آن کم کرد: $3x - 5$.

سوال 3: آیا $x^2$ و $2x$ مانند هم هستند و می‌توان آن‌ها را جمع کرد؟

پاسخ: هرگز! این دو عبارت متفاوت هستند. $x^2$ به معنی $x \times x$ است، در حالی که $2x$ به معنی $x + x$ است. آن‌ها جملات غیر متشابه هستند و نمی‌توان ضرایب آن‌ها را با هم جمع یا تفریق کرد. $x^2 + 2x$ را نمی‌توان بیشتر ساده کرد.

جمع‌بندی: عبارت جبری ابزاری قدرتمند برای تبدیل مسائل دنیای واقعی به زبان ریاضی است. با شناسایی متغیرها، ضرایب و عبارات ثابت می‌توانیم این زبان را بخوانیم و بنویسیم. یادگیری تفاوت بین انواع عبارات (یک‌جمله‌ای، دو جمله‌ای و ...) و تمرین ساده‌سازی آن‌ها با جمع جملات متشابه، پایه‌ی حل معادلات و مسائل پیچیده‌تر در سال‌های آینده خواهد بود. به خاطر داشته باشید که ریات زبانی است برای توصیف الگوهای اطراف ما، و عبارات جبری کلمات این زبان هستند.

پاورقی

¹عبارت جبری (Algebraic Expression): ترکیبی از اعداد، متغیرها و عملگرهای ریاضی که نماینده‌ی یک مقدار است.

²متغیر (Variable): نمادی (معمولاً یک حرف) که به جای یک عدد ناشناخته یا متغیر در یک عبارت جبری قرار می‌گیرد.

³ضریب (Coefficient): عددی ثابت که یک متغیر را در یک جمله‌ی جبری ضرب می‌کند.

⁴عبارت چندجمله‌ای (Polynomial): عبارتی متشکل از چند یک‌جمله‌ای که با عمل جمع یا تفریق به هم وصل شده‌اند.

⁵یک‌جمله‌ای (Monomial): عبارت جبری که تنها از یک جمله تشکیل شده است.

⁶دو جمله‌ای (Binomial): چندجمله‌ای که دقیقاً دو جمله دارد.

⁷سه جمله‌ای (Trinomial): چندجمله‌ای که دقیقاً سه جمله دارد.

جبر پایه نهم متغیر و ضریب عبارت چندجمله‌ای ساده‌سازی عبارت مثال‌های کاربردی جبر

پایهٔ نهم ریاضی نهم عبارت جبری

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!