تقسیم چندجملهای بر تکجملهای: تقسیم تکتک جملهها
چندجملهای و تکجمله چیست؟ شناخت مواد اولیه
قبل از شروع کار، باید با مواد اولیه آشنا شویم. در ریاضیات، به عباراتی که از جمع یا تفاضل چند جمله تشکیل شدهاند، چندجملهای میگوییم. هر جمله معمولاً از حاصلضرب یک عدد در یک یا چند متغیر با توانهای صحیح تشکیل شده است. به یک عبارت که فقط یک جمله دارد، تکجمله میگوییم.
| نمونه | نوع | جملات | توضیح |
|---|---|---|---|
| $5x^2$ | تکجمله | 1 | فقط یک جمله دارد: عدد 5 ضربدر x به توان 2. |
| $3y - 6$ | چندجملهای (دو جملهای) | 2 | از دو جمله تشکیل شده: $3y$ و $-6$. |
| $a^2 + 2ab - b^2$ | چندجملهای (سه جملهای) | 3 | از سه جمله تشکیل شده: $a^2$، $2ab$ و $-b^2$. |
قانون طلایی: تقسیم تکتک جملات
برای تقسیم یک چندجملهای بر یک تکجمله، یک قانون ساده داریم: هر جمله از چندجملهای را جداگانه بر آن تکجمله تقسیم میکنیم و سپس نتایج را با هم جمع (یا تفریق) میکنیم.
$\frac{A + B - C}{M} = \frac{A}{M} + \frac{B}{M} - \frac{C}{M}$
مثال: فرض کنید $(6x^3 + 9x^2)$ متر پارچه دارید و میخواهید آن را بین $3x$ کارگاه خیاطی به طور مساوی تقسیم کنید. کافی است مقدار پارچه هر رول (هر جمله) را جداگانه بین کارگاهها تقسیم کنید:
$\frac{6x^3 + 9x^2}{3x} = \frac{6x^3}{3x} + \frac{9x^2}{3x}$
گامبهگام با مثال: از لیموناد تا جبر
بیایید یک مثال کامل را با هم حل کنیم. میخواهیم چندجملهای $(15a^2b - 10ab^2 + 5ab)$ را بر تکجمله $5ab$ تقسیم کنیم.
گام ۱: تنظیم تقسیم
تقسیم را به صورت کسری مینویسیم: $\frac{15a^2b - 10ab^2 + 5ab}{5ab}$.
گام ۲: اعمال قانون طلایی (تقسیم هر جمله)
هر سه جمله را جداگانه بر $5ab$ تقسیم میکنیم:
$= \frac{15a^2b}{5ab} - \frac{10ab^2}{5ab} + \frac{5ab}{5ab}$
گام ۳: ساده کردن هر کسر
در این مرحله از قوانین ضرب و تقسیم توانها استفاده میکنیم (عددها را تقسیم و متغیرهای مشابه را با کم کردن توانها ساده میکنیم).
| جمله | تقسیم بر $5ab$ | محاسبه (اعداد و توانها) | نتیجه نهایی |
|---|---|---|---|
| $15a^2b$ | $\frac{15a^2b}{5ab}$ | $\frac{15}{5}=3$ , $a^{2-1}=a^1$ , $b^{1-1}=b^0=1$ | $3a$ |
| $-10ab^2$ | $\frac{-10ab^2}{5ab}$ | $\frac{-10}{5}=-2$ , $a^{1-1}=a^0=1$ , $b^{2-1}=b^1$ | $-2b$ |
| $+5ab$ | $\frac{5ab}{5ab}$ | $\frac{5}{5}=1$ , همهٔ متغیرها ساده میشوند ($=1$) | $+1$ |
گام ۴: جمعبندی نتایج
حالا نتایج مرحله قبل را کنار هم میگذاریم:
$3a - 2b + 1$
پس $\frac{15a^2b - 10ab^2 + 5ab}{5ab} = 3a - 2b + 1$.
کاربرد در دنیای واقعی: محاسبهی سرانه
تصور کنید شما مدیر یک اردوی دانشآموزی هستید. هزینهی کل خریدهای سهروزه اینگونه است: $12n^2 + 18n$ تومان (که n تعداد دانشآموزان است). میخواهید بدانید سرانه5 هزینه برای هر دانشآموز در هر روز چقدر است. اگر اردو 3 روزه باشد، هزینهی کل باید بر تعداد دانشآموزان ($n$) و تعداد روزها (3) تقسیم شود، یعنی بر تکجمله $3n$.
$\frac{12n^2 + 18n}{3n} = \frac{12n^2}{3n} + \frac{18n}{3n} = 4n + 6$
یعنی سرانه هزینه هر دانشآموز در هر روز، $(4n + 6)$ تومان است. این یعنی یک هزینهی ثابت 6 تومانی به ازای هر نفر، به اضافهی 4 تومان به ازای هر دانشآموز دیگر (شاید برای تخفیف گروهی!).
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاورقی
1 چندجملهای (Polynomial): عبارتی جبری متشکل از چند جمله که هر جمله شامل ضریب و متغیر(هایی) با توانهای عدد صحیح غیرمنفی است.
2 تکجمله (Monomial): یک چندجملهای که فقط از یک جمله تشکیل شده است.
3 ضریب (Coefficient): عدد ثابتی که در یک جملهی جبری، متغیر(ها) در آن ضرب میشوند. مثلاً در $5x^2$، عدد 5 ضریب است.
4 توان (Exponent): عدد کوچکی که در بالا و سمت راست یک متغیر یا عدد نوشته میشود و نشاندهندهی تعداد دفعات ضرب آن در خودش است. مثلاً در $x^3$، عدد 3 توان است.
5 سرانه (Per Capita): به ازای هر نفر. میانگین مقدار یک چیز برای هر فرد در یک گروه.
