اتحادهای جبری: کلید سادهسازی دنیای ریاضی
اتحاد چیست و چرا به آن نیاز داریم؟
در ریاضیات، یک اتحاد به تساویای گفته میشود که به ازای تمام مقادیر ممکن متغیرها برقرار باشد. به زبان سادهتر، یک رابطهی همیشه درست است. این مانند یک فرمول جادویی است که در هر شرایطی کار میکند. فرض کنید میخواهید مساحت یک باغچهی مستطیلی را که طول و عرض آن هر کدام 1 متر بزرگتر شده، محاسبه کنید. اگر طول اصلی x و عرض اصلی y متر باشد، محاسبهی مستقیم میتواند طولانی شود. اما اتحادها این مسیر را کوتاه میکنند.
اتحادهای پایه: سه یار همیشه حاضر
برای شروع کار با سادهسازی، باید با سه اتحاد مهم و پرکاربرد آشنا شویم. این اتحادها مانند ابزارهای اصلی جعبهابزار ریاضی شما هستند.
| نام اتحاد | فرمول (الگوی کلی) | مثال عددی ساده |
|---|---|---|
| اتحاد مربع دو جملهای (جملهی اول به اضافه جملهی دوم) | $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ | $(5+3)^2 = 5^2 + 2\times5\times3 + 3^2 = 64$ |
| اتحاد مربع دو جملهای (جملهی اول منهای جملهی دوم) | $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ | $(7-2)^2 = 7^2 - 2\times7\times2 + 2^2 = 25$ |
| اتحاد مزدوج | $(a+b)(a-b) = a^2 - b^2$ | $(6+4)(6-4) = 6^2 - 4^2 = 20$ |
کاربرد اتحادها در سادهسازی عبارتهای گویا
عبارت گویا، کسری است که صورت و مخرج آن چندجملهای5 هستند. گاهی این عبارتها خیلی کثیف به نظر میرسند! اما اتحادها به ما کمک میکنند بخشی از صورت یا مخرج را فاکتورگیری6 کنیم و سپس عبارت را ساده کنیم.
مثال از زندگی: فرض کنید نرخ مصرف بنزین یک ماشین بر حسب لیتر بر کیلومتر، از فرمول $\frac{x^2-9}{x^2-6x+9}$ به دست میآید و x سرعت ماشین است. برای محاسبهی مصرف در سرعتهای مختلف، ساده کردن این فرمول کار را آسانتر میکند.
گامبهگام:
۱. تشخیص الگو: در صورت کسر، $x^2-9$ را میبینیم که شبیه $a^2-b^2$ است. پس از اتحاد مزدوج استفاده میکنیم:
$x^2-9 = (x+3)(x-3)$.
۲. در مخرج کسر، $x^2-6x+9$ را میبینیم. این شبیه $a^2-2ab+b^2$ است. پس از اتحاد مربع دو جملهای استفاده میکنیم:
$x^2-6x+9 = (x-3)^2 = (x-3)(x-3)$.
۳. حالا عبارت گویای ما میشود:
$\frac{(x+3)(x-3)}{(x-3)(x-3)}$.
۴. عبارت مشترک $(x-3)$ از صورت و مخرج حذف میشود (به شرطی که $x \neq 3$ باشد):
$\frac{x+3}{x-3}$.
حالا یک فرمول بسیار سادهتر داریم که محاسبهی آن برای هر سرعت x بسیار راحتتر است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر! این یک اشتباه بسیار رایج است. طبق اتحاد مربع دو جملهای، $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$. آن جملهی میانی، یعنی $2ab$، هرگز نباید فراموش شود. مثلاً $(2+3)^2=25$ است، در حالی که $2^2+3^2=13$ میشود.
پاسخ: فقط زمانی میتوانیم عبارتی را در صورت و مخرج یک کسر حذف (ساده) کنیم که آن عبارت یک عامل مشترک باشد. یعنی به صورت ضرب در آورده شده باشد. به مثال قبل دقت کنید: $(x-3)$ به صورت ضرب در آمده بود. ما نمیتوانیم عبارتی که با جمع یا تفریق به دیگر بخشها وصل شده را مستقیماً حذف کنیم.
پاسخ: اتحاد مزدوج برای هر نوع عبارتی کاربرد دارد. مثلاً اگر $a=2m$ و $b=5n$ باشد، آنگاه: $(2m+5n)(2m-5n) = (2m)^2 - (5n)^2 = 4m^2 - 25n^2$. این اتحاد حتی در سادهسازی رادیکالها و اعداد مختلط (که در پایههای بالاتر میخوانید) نیز استفاده فراوانی دارد.
پاورقی
1 اتحادهای ریاضی (Algebraic Identities): تساویهای جبری که برای تمام مقادیر متغیرها برقرارند.
2 اتحاد مربع دو جملهای (Square of a Binomial Identity): اتحادهای مربوط به $(a \pm b)^2$.
3 اتحاد مزدوج (Conjugate Identity): اتحاد حاصل ضرب دو عبارت مزدوج: $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$.
4 عبارت گویا (Rational Expression): کسری که صورت و مخرج آن چندجملهای باشند.
5 چندجملهای (Polynomial): عبارت جبری شامل چند جمله که با عملیات جمع یا تفریق از هم جدا شدهاند، مانند $3x^2 - 2x + 5$.
6 فاکتورگیری (Factoring): نوشتن یک عبارت به صورت ضرب چند عبارت سادهتر.
