قانون کلی سادهسازی: راز اعداد مربعی و مکعبی
مفهوم بنیادی: مربع کامل و مکعب کامل چیست؟
پیش از هر چیز، باید دو مفهوم کلیدی را بشناسیم. یک مربع کامل عددی است که حاصل ضرب یک عدد طبیعی در خودش باشد. مانند $1 (1^2), 4 (2^2), 9 (3^2), 16 (4^2), 25 (5^2)$ و الی آخر. یک مکعب کامل نیز عددی است که حاصل ضرب یک عدد طبیعی در خودش و دوباره در خودش باشد. مانند $1 (1^3), 8 (2^3), 27 (3^3), 64 (4^3)$ .
حالا فرض کنید عدد 72 را داریم. این عدد نه مربع کامل است و نه مکعب کامل. اما در دل خود، یک مربع کامل پنهان دارد! اینجاست که قانون سادهسازی به کمک ما میآید.
گامبهگام: روش استخراج مربع کامل از درون اعداد
این روش را با یک مثال واقعی دنبال میکنیم. تصور کنید یک زمین کشاورزی به مساحت 180 متر مربع داریم و میخواهیم بفهمیم بزرگترین مربعی که میتوان در آن ساخت، مساحتش چند متر است. در واقع میخواهیم $\sqrt{180}$ را ساده کنیم.
گام اول: تجزیه به عوامل اول
عدد
180
را به عوامل اول تجزیه میکنیم:
$180 = 2 \times 2 \times 3 \times 3 \times 5 = 2^2 \times 3^2 \times 5^1$ .
گام دوم: شناسایی زوجهای توان
هر عامل که توانش زوج باشد، میتواند از زیر رادیکال خارج شود.
$2^2$
و
$3^2$
هر دو توان زوج دارند. پس
$2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36$
بزرگترین مربع کامل درون
180
است.
گام سوم: سادهسازی نهایی
بنابراین:
$\sqrt{180} = \sqrt{36 \times 5} = \sqrt{36} \times \sqrt{5} = 6\sqrt{5}$ .
یعنی بزرگترین مربع کامل،
36
بود که به صورت
6
از رادیکال خارج شد.
| عدد اصلی | تجزیه به عوامل اول | بزرگترین مربع کامل درون عدد | شکل سادهشده رادیکال |
|---|---|---|---|
| 72 | $2^3 \times 3^2$ | 36 $(2^2 \times 3^2)$ | $6\sqrt{2}$ |
| 98 | $2^1 \times 7^2$ | 49 $(7^2)$ | $7\sqrt{2}$ |
| 45 | $3^2 \times 5^1$ | 9 $(3^2)$ | $3\sqrt{5}$ |
سراغ مکعب کامل برویم: سادهسازی ریشه سوم
داستان برای ریشه سوم و مکعب کاملها بسیار مشابه است، با یک تفاوت کوچک! برای خروج از زیر رادیکال مکعب (ریشه سوم)، نیاز به سهتاییهای توان داریم. یعنی توانی که مضرب 3 باشد (مانند $2^3, 3^3$ ).
مثال از دنیای واقعی: یک جعبه مکعبی شکل داریم که حجم آن 54 سانتیمتر مکعب است. طول ضلع این جعبه چقدر است؟ یعنی باید $\sqrt[3]{54}$ را محاسبه کنیم.
- تجزیه: $54 = 2 \times 3 \times 3 \times 3 = 2^1 \times 3^3$ .
- شناسایی سهتایی توان: فقط $3^3$ یک سهتایی کامل است. پس بزرگترین مکعب کامل درون 54، عدد 27 ($3^3$) است.
- سادهسازی: $\sqrt[3]{54} = \sqrt[3]{27 \times 2} = \sqrt[3]{27} \times \sqrt[3]{2} = 3\sqrt[3]{2}$ . پس طول ضلع جعبه $3\sqrt[3]{2}$ سانتیمتر است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: بله، هدف از سادهسازی همین است. با خارج کردن بزرگترین بخش کامل، رادیکال تا حد ممکن کوچک و ساده میشود. خارج کردن مربع کامل کوچکتر (مثلاً ۴ به جای ۳۶ از ۱۸۰) نتیجه نهایی را سادهتر نمیکند.
پاسخ: در این صورت، بزرگترین مربع کامل برابر با ۱ است. یعنی عدد مربع کامل قابل توجهی درون خود ندارد و رادیکال ساده نمیشود. مثال: عدد 15 که به صورت $3^1 \times 5^1$ است.
پاسخ: خیر! میتوانیم از این قانون برای سادهسازی عبارات متغیر نیز استفاده کنیم. مثلاً برای ساده کردن $\sqrt{x^4 y^3}$ ، توان زوج $x^4$ و بخش زوج از $y^2$ (از داخل $y^3$ ) را خارج میکنیم: $x^2 y \sqrt{y}$ .
پاورقی
[1] مربع کامل (Perfect Square): عددی که حاصل ضرب یک عدد طبیعی در خودش باشد.
[2] مکعب کامل (Perfect Cube): عددی که حاصل ضرب یک عدد طبیعی در خودش و دوباره در خودش باشد.
[3] عوامل اول (Prime Factors): اعداد اولی که از تجزیه یک عدد به دست میآیند، مانند ۲، ۳، ۵، ۷ و ...
