بزرگنمایی و کوچکنمایی: دنیای مشابهها
مقیاس چیست و ضریب مقیاس چه میگوید؟
همهی ما عبارت مقیاس نقشه 1:100 را دیدهایم. این به ما میگوید که هر 1 سانتیمتر روی نقشه، معادل 100 سانتیمتر (یعنی 1 متر) در واقعیت است. در بزرگنمایی و کوچکنمایی نیز از مفهومی مشابه به نام ضریب مقیاس استفاده میکنیم.
$ k > 1 $ یعنی بزرگنمایی.
$ 0 یعنی کوچکنمایی.
$ k = 1 $ یعنی اندازه ثابت میماند.
طول هر ضلع در شکل جدید = $ k \times $ (طول همان ضلع در شکل اصلی).
مثال: اگر یک مثلث با ضلعهای 3، 4 و 5 سانتیمتر داشته باشیم و آن را با ضریب مقیاس $ k=2 $ بزرگ کنیم، اندازهی ضلعهای جدید به ترتیب 6، 8 و 10 سانتیمتر خواهد شد. به این دو مثلث، مثلثهای متشابه میگویند.
انواع تغییر اندازه: مشابه و غیرمشابه
خیلی مهم است که تفاوت بین بزرگنمایی واقعی (که مشابه ایجاد میکند) و تغییر اندازهی نامنظم را بدانیم. در جدول زیر این تفاوت بهوضوح نشان داده شده است.
| ویژگی | بزرگنمایی/کوچکنمایی واقعی (مشابه) | تغییر اندازهی نامنظم (غیرمشابه) |
|---|---|---|
| نسبتهای شکل | همهٔ نسبتهای طولی حفظ میشود. | نسبتها تغییر میکند. شکل کشیده یا فشرده میشود. |
| اندازهٔ زوایا | ثابت میماند | تغییر میکند |
| مثال کاربردی | تهیهٔ یک کپی بزرگتر از یک عکس پرسنلی. | کشیدن یک تصویر مربع به یک مستطیل برای پر کردن صفحهٔ دسکتاپ. |
| فرمول ریاضی | همهٔ ابعاد در یک ضریب ثابت $ k $ ضرب میشوند. | ابعاد در ضرایب مختلف ضرب میشوند (مثلاً طول در $ a $ و عرض در $ b $). |
بزرگنمایی و کوچکنمایی در عمل: از نقشه تا طراحی
بیایید چند مثال ملموس از زندگی را بررسی کنیم:
۱. نقشهها و ماکتها: یک ماکت ساختمان یا یک نقشهٔ شهر، نمونهای عالی از کوچکنمایی با حفظ نسبتها است. اگر ارتفاع درب ماکت یک ساختمان 2 سانتیمتر و ارتفاع واقعی همان درب 200 سانتیمتر باشد، ضریب مقیاس $ k = \frac{2}{200} = 0.01 $ است. یعنی همه چیز به اندازهٔ $ \frac{1}{100} $ کوچک شده است.
۲. تغییر سایز تصاویر در نرمافزارها: وقتی در یک برنامهٔ ویرایش عکس، گزینهٔ «تغییر اندازه با حفظ نسبت ابعاد» (Lock Aspect Ratio) را فعال میکنید، در حال انجام یک بزرگنمایی یا کوچکنمایی واقعی هستید. اگر این گزینه خاموش باشد، ممکن است عکس شما کشیده یا باریک شود که یک تغییر نامنظم است.
۳. کاشیکاری و طراحی پارکت: الگوی یک کاشی کوچک ممکن است دقیقاً با همان نسبتها روی یک کاشی بزرگتر تکرار شود. این یعنی تولیدکننده، طرح را با یک ضریب مقیاس بزرگنمایی کرده است.
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: در سطح پایه، معمولاً ضریب مقیاس را مثبت در نظر میگیریم. اما در ریاضیات پیشرفتهتر، ضریب منفی میتواند به معنای بزرگنمایی بهعلاوهٔ یک قرینهسازی (مانند تصویر در آینه) باشد. فعلاً در پایهٔ نهم به مقادیر مثبت $ k $ بسنده میکنیم.
پاسخ: خیر! این یک اشتباه رایج است.
- محیط: در ضریب $ k $ ضرب میشود. (اگر $ k=3 $، محیط ۳ برابر میشود.)
- مساحت: در $ k^2 $ ضرب میشود. (اگر $ k=3 $، مساحت $ 9 = 3^2 $ برابر میشود.)
پاورقی
1 بزرگنمایی (Enlargement / Dilation)
2 کوچکنمایی (Reduction)
3 مقیاس (Scale)
4 ضریب مقیاس (Scale Factor)
5 تشابه (Similarity) - به رابطهای بین دو شکل گفته میشود که در آن زوایای متناظر برابر و اضلاع متناظر، متناسب باشند.
