اشکال متشابه: شکل‌هایی که شکل یکسان ولی اندازهٔ متفاوت داشته باشند.

بروزرسانی شده در: 18:29 1404/09/10 مشاهده: 2 دسته بندی: کپسول آموزشی

اشکال متشابه: کلید فهم دنیای اطراف

شکل‌های یکسان در اندازه‌های مختلف: از نقشه‌ها تا بزرگ‌نمایی موبایل.

خلاصه: در این مقاله با مفهوم جذاب و کاربردی اشکال متشابه¹ آشنا می‌شویم. خواهیم دید که چگونه شکل‌هایی با نسبت‌های یکسان ولی اندازه‌های متفاوت، بخش بزرگی از دنیای اطراف ما را می‌سازند. از نقشه شهر گرفته تا بزرگ‌نمایی یک عکس در تلفن همراه. با یادگیری اصول تشابه² و نسبت³، درک بهتری از هندسه در زندگی روزمره پیدا خواهیم کرد.

تشابه یعنی چه؟ شرط لازم و کافی!

دو شکل هندسی متشابه هستند اگر دو شرط اصلی را داشته باشند:

۱. زوایای متناظر برابر: هر زاویه‌ای در یک شکل، با زاویه‌ی مقابلش در شکل دیگر کاملاً برابر است.
۲. اضلاع متناظر متناسب: طول هر ضلع در یک شکل، حاصل ضرب طول ضلع متناظر در شکل دیگر در یک عدد ثابت است. به این عدد ثابت "نسبت تشابه"⁴ می‌گوییم.

به زبان ساده‌تر، اگر بتوانید یک شکل را فقط "بزرگ" یا "کوچک" کنید (بدن اینکه کج شود یا حالتش عوض شود)، شکل جدید با شکل اولیه متشابه خواهد بود. به این فرآیند تغییر مقیاس⁵ می‌گویند.

انواع اشکال متشابه در هندسه

همه‌ی شکل‌ها نمی‌توانند متشابه باشند. در اینجا مهم‌ترین آن‌ها را بررسی می‌کنیم:

نام شکل	شرط تشابه	مثال ملموس
مثلث‌ها	برابری دو زاویه (و در نتیجه زاویه سوم) کافی است.	سایه‌ی یک درخت و خود درخت روی زمین.
چندضلعی‌های منتظم	همه‌ی زوایای داخلی برابرند. پس هر دو مربع، هر دو شش‌ضلعی منتظم با هم متشابهند.	سلول‌های کندوی عسل، کاشی‌های مربعی با طرح یکسان.
دایره‌ها	همه‌ی دایره‌ها با هم متشابه هستند! چون شکل آن‌ها کاملاً یکسان است.	سکه‌های مختلف، حلقه‌های دود، علامت @ در آدرس ایمیل.
مستطیل‌ها	نه! همه‌ی مستطیل‌ها متشابه نیستند. شرط تشابه، برابر بودن نسبت طول به عرض است.	کاغذ A4 و A5 متشابهند، ولی کاغذ A4 و یک برگه‌ی مربعی نیستند.

نسبت تشابه: عدد جادویی تغییر اندازه

این عدد به ما می‌گوید شکل جدید نسبت به شکل اصلی چند برابر بزرگ‌تر یا کوچک‌تر شده است. اگر آن را با حرف $k$ نشان دهیم:

$k = \frac{\text{طول ضلع در شکل جدید}}{\text{طول ضلع متناظر در شکل اصلی}}$

نکته:

اگر $k > 1$ باشد، شکل بزرگ شده است.
اگر $k باشد، شکل کوچک شده است.
اگر $k = 1$ باشد، دو شکل نه تنها متشابه، بلکه هم‌نهشت⁶ (دقیقاً برابر) هستند.

مثال: اگر طول یک مستطیل 10 سانتی‌متر و عرض آن 5 سانتی‌متر باشد، و مستطیل متشابه آن طولی برابر 20 سانتی‌متر داشته باشد، نسبت تشابه چیست؟
ضلع متناظر، طول است. پس: $k = 20 \div 10 = 2$. یعنی شکل جدید، 2 برابر بزرگ‌تر شده. پس عرض جدید هم $5 \times 2 = 10$ سانتی‌متر خواهد بود.

تشابه در عمل: از نقشه‌کشی تا عکاسی

بیایید چند مثال کاربردی از زندگی روزمره را با هم بررسی کنیم:

۱. نقشه‌ها و ماکت‌ها: یک نقشه از شهر، یک مدل متشابه کوچک‌شده از واقعیت است. مقیاس نقشه همان نسبت تشابه است. اگر مقیاس نقشه 1:10000 باشد، یعنی $k = \frac{1}{10000}$. هر 1 سانتی‌متر روی نقشه، معادل 10000 سانتی‌متر (100 متر) در واقعیت است.

۲. بزرگ‌نمایی عکس: وقتی با انگشتان خود یک عکس را روی موبایل باز می‌کنید، در حال ایجاد یک شکل متشابه از عکس اصلی هستید. نرم‌افزار با حفظ نسبت طول و عرض پیکسل‌ها (نسبت تشابه)، عکس را بزرگ می‌کند. اگر این نسبت حفظ نشود، عکس کشیده یا فشرده می‌شود و متشابه نخواهد بود.

۳. اندازه‌گیری غیرمستقیم: فرض کنید می‌خواهید ارتفاع یک درخت بلند را بدون بالا رفتن اندازه بگیرید. می‌توانید در یک روز آفتابی، طول سایه‌ی درخت و طول سایه‌ی یک چوب با ارتفاع معلوم را هم‌زمان اندازه بگیرید. مثلث تشکیل شده توسط خورشید، درخت و سایه‌اش، با مثلث چوب و سایه‌اش متشابه است! با نوشتن تناسب بین اضلاع می‌توانید ارتفاع درخت را محاسبه کنید.

سؤالات متداول و اشتباهات رایج

سؤال: آیا هر دو مربع با هم متشابه هستند؟ چرا؟

پاسخ: بله، قطعاً. زیرا اولاً همه‌ی زوایای آن‌ها 90 درجه و برابر است. ثانیاً نسبت هر ضلع به ضلع دیگر (که همیشه 1 است) در همه‌ی مربع‌ها یکسان می‌باشد. پس شرط تشابه برقرار است.

سؤال: یک اشتباه رایج: "دو مستطیل که محیط مساوی دارند، حتماً متشابهند." این درست است؟

پاسخ: خیر، این جمله کاملاً غلط است. تشابه به نسبت طول به عرض بستگی دارد، نه به اندازه‌ی محیط یا مساحت. مثال نقض: یک مستطیل 6×4 (نسبت 1.5) و یک مستطیل 7×3 (نسبت حدود 2.33) هر دو محیط 20 دارند، اما متشابه نیستند.

سؤال: نسبت مساحت دو شکل متشابه، با نسبت تشابه $k$ چه رابطه‌ای دارد؟

پاسخ: اگر طول‌ها $k$ برابر شوند، مساحت $k^2$ برابر می‌شود. مثال: اگر یک ماکت ماشین 50 بار کوچک‌تر از ماشین واقعی باشد ($k=\frac{1}{50}$)، مساحت سطح رنگ‌شده‌ی آن $(\frac{1}{50})^2 = \frac{1}{2500}$ ماشین واقعی است.

جمع‌بندی: مفهوم اشکال متشابه به ما می‌آموزد که چگونه تغییر اندازه، می‌تواند نسبت‌ها و زاویه‌ها را حفظ کند. این اصل ساده، پایه‌ی درک بسیاری از پدیده‌های اطراف ما، از تهیه‌ی یک نقشه‌ی دقیق تا ساخت ماکت یک ساختمان عظیم است. به خاطر داشته باشید که شرط اصلی، حفظ تناسب بین تمام اضلاع متناظر و برابری زوایا است. با تمرین روی مثال‌های ساده‌ی زندگی، تسلط بر این مفهوم جذاب هندسی بسیار آسان خواهد شد.

پاورقی

¹ اشکال متشابه (Similar Shapes/Figures): شکل‌هایی که فرم و نسبت‌های یکسان ولی اندازه‌های متفاوت دارند.
² تشابه (Similarity): رابطه‌ی هندسی بین دو شکل متشابه.
³ نسبت (Ratio): مقایسه‌ی کمیت دو چیز به صورت تقسیم.
⁴ نسبت تشابه (Scale Factor): عدد ثابتی که در آن طول هر ضلع شکل اول ضرب می‌شود تا به طول ضلع متناظر در شکل دوم برسد.
⁵ تغییر مقیاس (Scaling): عمل بزرگ‌کردن یا کوچک‌کردن یک شکل.
⁶ هم‌نهشت (Congruent): دو شکلی که هم شکل و هم اندازه‌ی یکسان دارند.

هندسه نسبت تشابه مقیاس نقشه اشکال هندسی کاربرد هندسه

پایهٔ نهم ریاضی نهم اشکال متشابه

اطلاع از تغییرات در بسته‌های گاما

کاربر عزیز سلام!