اعداد گویا: زبان ریاضی زندگی روزمره
اعداد گویا چه اعدادی هستند؟
به زبان ساده، هر عددی که بتوان آن را به صورت یک کسر نوشت، یک عدد گویا1 نام دارد. در این کسر، هم صورت (a) و هم مخرج (b) باید اعداد صحیح2 باشند و مخرج هم نمی‌تواند صفر باشد. این تعریف را می‌توان به صورت زیر نوشت:
برای مثال، وقتی یک پیتزا را بین چهار دوست خود به طور مساوی تقسیم می‌کنید، سهم هر نفر می‌شود $\frac{1}{4}$ پیتزا. این یک عدد گویا است. حتی اعداد صحیح مانند 5 نیز می‌توانند به صورت کسر $\frac{5}{1}$ نوشته شوند، پس آنها هم گویا هستند.
انواع نمایش اعداد گویا
اعداد گویا را می‌توان به دو شکل اصلی نمایش داد: کسر و اعشار. جدول زیر این دو نمایش و ویژگی‌های آنها را با مثال‌هایی از زندگی نشان می‌دهد.
| نوع نمایش | توضیح | مثال از زندگی |
|---|---|---|
| کسر ساده | نمایش به صورت $\frac{a}{b}$ | نصف سیب: $\frac{1}{2}$ |
| عدد اعشاری پایان‌پذیر | اعداد اعشاری که ارقام آنها بعد از نقطه تمام می‌شود. | قیمت یک نوشابه: 8.5 هزار تومان |
| عدد اعشاری تکراری | اعداد اعشاری که یک یا چند رقم در آنها تا بی‌نهایت تکرار می‌شود. | حاصل تقسیم 1 بر 3: 0.333...$ |
همان‌طور که می‌بینید، هر عدد گویا می‌تواند به هر دو شکل کسر و اعشار نوشته شود. برای مثال، $\frac{1}{2}$ برابر است با 0.5 و برعکس.
ویژگی‌های مهم اعداد گویا
اعداد گویا مانند سایر اعداد، از قوانین خاصی پیروی می‌کنند. این قوانین به ما کمک می‌کنند تا راحت‌تر با آنها کار کنیم.
| ویژگی | توضیح | مثال |
|---|---|---|
| بسته بودن تحت جمع و تفریق | حاصل جمع یا تفریق دو عدد گویا، همیشه یک عدد گویا است. | $\frac{1}{2} + \frac{1}{3} = \frac{5}{6}$ |
| بسته بودن تحت ضرب و تقسیم | حاصل ضرب یا تقسیم دو عدد گویا (به جز تقسیم بر صفر)، همیشه یک عدد گویا است. | $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$ |
| عدد گویا معکوس | معکوس هر عدد گویا (به جز صفر) نیز یک عدد گویا است. معکوس $\frac{a}{b}$ برابر $\frac{b}{a}$ است. | معکوس $\frac{3}{4}$ برابر است با $\frac{4}{3}$ |
اعداد گویا در عمل: از خرید تا پخت و پز
شاید فکر کنید اعداد گویا فقط در کتاب‌های ریاضی وجود دارند، اما آنها در زندگی روزمرهٔ ما بسیار کاربردی هستند. در ادامه به چند نمونه اشاره می‌کنیم:
خرید کردن: فرض کنید یک شیشه عسل به قیمت 45 هزار تومان، 25\%$ تخفیف دارد. برای محاسبهٔ مبلغ تخفیف، باید 25\%$ که برابر با کسر $\frac{25}{100}$ یا $\frac{1}{4}$ است را در قیمت اصلی ضرب کنید: $\frac{1}{4} \times 45 = 11.25$ هزار تومان. این محاسبه با استفاده از اعداد گویا انجام شد.
پخت کیک: در یک دستور پخت کیک، ممکن است نیاز باشد نصف ($\frac{1}{2}$) پیمانه شکر و سه‌چهارم ($\frac{3}{4}$) پیمانه آرد استفاده کنید. این مقادیر همگی اعداد گویا هستند.
زمان‌بندی: اگر یک مسابقهٔ فوتبال 90 دقیقه باشد و دو نیمه داشته باشد، هر نیمه $\frac{90}{2} = 45$ دقیقه طول می‌کشد. این هم یک کاربرد ساده از اعداد گویا است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. فقط اعداد اعشاری که پایان‌پذیر یا تکراری باشند، گویا هستند. برای مثال، عدد 0.25 (پایان‌پذیر) و عدد 0.333...$ (تکراری) گویا هستند. اما عدد پی ($\pi$) که اعشاری غیرتکراری و نامتناهی است، یک عدد گویا محسوب نمی‌شود.
تقسیم هر عددی بر صفر در ریاضیات تعریف نشده است. اگر بگوییم $\frac{5}{0}$، در واقع به دنبال عددی هستیم که اگر در صفر ضرب شود، حاصل 5 شود. چنین عددی وجود ندارد. بنابراین کسری با مخرج صفر، یک عدد گویا نیست و بی‌معنا است.
بله. هر عدد صحیح مانند 7-، 0 یا 12 را می‌توان به صورت کسری با مخرج 1 نوشت ($\frac{-7}{1}$, $\frac{0}{1}$, $\frac{12}{1}$). پس تمام اعداد صحیح، زیرمجموعه‌ای از اعداد گویا به حساب می‌آیند.
پاورقی
1عدد گویا (Rational Number): به اعدادی گفته می‌شود که بتوان آنها را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت.
2عدد صحیح (Integer): به مجموعهٔ اعداد ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... گفته می‌شود.
