نوشتن مختصات بردار با بردارهای واحد مختصات
بردار چیست و چگونه آن را نشان میدهیم؟
یک بردار، کمیتی است که هم اندازه۳ دارد و هم جهت. برای مثال، وقتی شما مستقیماً از خانه به سمت مدرسه حرکت میکنید، این جابجایی یک بردار است. زیرا هم مقدار مسافتی که طی کردهاید مهم است (مثلاً 500 متر) و هم جهت حرکت شما (مثلاً به سمت شمال شرق). در مقابل، اگر فقط بگوییم دمای هوا 25 درجه است، این یک عدد معمولی یا اسکالر۴ است، چون جهتی ندارد.
در ریاضی، یک بردار در صفحه را میتوان با یک جفت عدد مرتب به نام مختصات نشان داد. این اعداد به ما میگویند بردار در راستای محور xها و محور yها چقدر جابجا شده است.
بردارهای واحد: الفبای زبان بردارها
برای نوشتن بردارها به زبان ریاضی، به یک الفبا نیاز داریم. این الفبا، بردارهای واحد۵ مختصات هستند. این بردارها، بردارهایی هستند که اندازهشان دقیقاً برابر یک واحد است و جهت آنها در راستای محورهای مختصات است.
| نام بردار واحد | نماد | مختصات | توضیح |
|---|---|---|---|
| بردار واحد محور x | $\hat{i}$ | $(1, 0)$ | این بردار دقیقاً یک واحد در جهت مثبت محور xها حرکت میکند. |
| بردار واحد محور y | $\hat{j}$ | $(0, 1)$ | این بردار دقیقاً یک واحد در جهت مثبت محور yها حرکت میکند. |
ترکیب خطی: ساختن بردارهای جدید
حالا میتوانیم هر بردار دلخواهی را با استفاده از این بردارهای واحد بسازیم. به این کار ترکیب خطی میگویند. فرض کنید میخواهیم بردار $\vec{V} = (3, 4)$ را بنویسیم. این یعنی میخواهیم 3 واحد در راستای x و 4 واحد در راستای y حرکت کنیم.
حرکت 3 واحد در راستای x یعنی: $3 \times \hat{i}$
حرکت 4 واحد در راستای y یعنی: $4 \times \hat{j}$
بنابراین، بردار کل ما میشود: $\vec{V} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$
کاربرد در نقشهخوانی و بازیهای کامپیوتری
تصور کنید در یک بازی کامپیوتری، شخصیت شما در نقطه (1, 2) قرار دارد و باید به گنجی در نقطه (4, 6) برسد. برای پیدا کردن مسیر و مقدار جابجایی، یک بردار رسم میکنیم. مختصات این بردار میشود: $\vec{M} = (4-1, 6-2) = (3, 4)$.
حالا این بردار را با بردارهای واحد مینویسیم: $\vec{M} = 3\hat{i} + 4\hat{j}$. این معادله به موتور بازی میگوید: «شخصیت را 3 واحد در راستای x و 4 واحد در راستای y حرکت بده». این دقیقاً همان زبان ریاضی است که کامپیوتر آن را درک میکند!
اشتباهات رایج و پرسشهای مهم
پاسخ: خیر، فرقی ندارد. در جمع بردارها، خاصیت جابجایی برقرار است. هر دو عبارت دقیقاً نشاندهنده بردار (3, 4) هستند.
پاسخ: یک اشتباه رایج، فراموش کردن علامت (مثبت یا منفی) ضرایب است. برای مثال، بردار $\vec{W} = (-2, 5)$ باید به صورت $\vec{W} = -2\hat{i} + 5\hat{j}$ نوشته شود. علامت منفی برای $\hat{i}$ نشان میدهد که حرکت در جهت مخالف محور xها (یعنی به سمت چپ) انجام شده است.
پاسخ: استفاده از بردارهای واحد، زبان مشترک و قدرتمندی برای محاسبات پیچیدهتر ایجاد میکند. وقتی بردارها را به این شکل مینویسیم، جمع، تفریق و حتی ضرب آنها در اعداد (ضرب در اسکالر) بسیار ساده و منظم میشود. مثلاً برای دو برابر کردن بردار مثال خودمان داریم: $2\vec{V} = 2(3\hat{i} + 4\hat{j}) = 6\hat{i} + 8\hat{j}$.
پاورقی
۱بردار (Vector): کمیتی که هم اندازه و هم جهت دارد.
۲ترکیب خطی (Linear Combination): بیان یک بردار به صورت جمع چند بردار دیگر که در ضرایب عددی ضرب شدهاند.
۳اندازه (Magnitude): طول بردار که یک عدد غیرمنفی است.
۴اسکالر (Scalar): یک عدد معمولی که فقط اندازه دارد و جهت ندارد.
۵بردار واحد (Unit Vector): برداری که اندازه آن دقیقاً برابر ۱ باشد.
