جمع (برآیند) بردارها: ترکیب دو یا چند بردار برای به‌دست آوردن یک بردار نتیجه

جمع بردارها: زبان ریاضی نیروها

بردار چیست و چه تفاوتی با عدد معمولی دارد؟

قبل از جمع کردن بردارها، باید بدانیم بردار چیست. در زندگی روزمره با دو نوع کمیت^[4] روبرو می‌شویم: کمیت‌های نرده‌ای^[5] و کمیت‌های برداری^[6]. کمیت نرده‌ای فقط یک عدد و یکای اندازه‌گیری دارد. برای مثال، وقتی می‌گوییم دمای هوا 25 درجه است، فقط یک مقدار بیان کرده‌ایم. جرم، زمان و حجم نیز از این دسته هستند.

اما یک کمیت برداری، علاوه بر مقدار (که به آن اندازه^[7] می‌گوییم)، یک جهت نیز دارد. نیرو، جابجایی و سرعت، نمونه‌های بارز بردارها هستند. اگر به دوستتان بگویید: «این کتاب را با نیروی 10 نیوتن^[8] به سمت شرق هل بده»، شما در حال تعریف یک بردار هستید. این تفاوت اصلی است.

چگونه بردارها را با هم جمع کنیم؟

جمع بردارها مانند جمع اعداد ساده نیست. چون جهت مهم است، باید ببینیم بردارها چگونه هم‌راستا هستند. نتیجه‌ی جمع دو یا چند بردار را بردار برآیند می‌نامیم. دو روش اصلی برای این کار وجود دارد.

روش هندسی: مثلث و متوازی‌الاضلاع

این روش بصری و مبتنی بر رسم پیکان‌هاست. فرض کنید می‌خواهید یک صندوق را جابجا کنید. شما آن را با نیروی F₁ به سمت شرق و دوستتان با نیروی F₂ به همان سمت هل می‌دهد. در این حالت، برآیند نیرو حاصل جمع جبری اندازه‌هاست: $ R = F_1 + F_2 $ و جهت آن هم به سمت شرق خواهد بود.

اما اگر شما و دوستتان صندوق را از دو طرف مخالف (مثلاً شرق و غرب) با نیروی یکسان هل دهید، صندوق تکان نمی‌خورد! چون برآیند نیروها صفر می‌شود. این حالت، وقتی دو بردار هم‌جهت ولی در خلاف جهت یکدیگر باشند، بردارهای مخالف نامیده می‌شوند و برآیند آن‌ها از تفریق اندازه‌ها به دست می‌آید.

حالا حالت جالب‌تر: وقتی دو بردار بر هم عمود هستند. مثلاً قایقی را در نظر بگیرید که موتور آن آن را با سرعت V_river به سمت شرق می‌راند، اما جریان رودخانه با سرعت V_boat به سمت شمال می‌آورد. مسیر واقعی قایق، مورب بین این دو جهت خواهد بود. برای یافتن برآیند، از روش متوازی‌الاضلاع استفاده می‌کنیم: دو بردار را از یک نقطه رسم کرده و روی آن‌ها متوازی‌الاضلاع می‌سازیم. قطر متوازی‌الاضلاع، همان بردار برآیند است.

برآیند نیروها در بازی‌ها و ورزش‌ها

وقتی در بازی فوتبال به توپ ضربه می‌زنید، نیروی پای شما یک بردار است. اگر دو بازیکن هم‌زمان از دو زاویه‌ی مختلف به توپ ضربه بزنند، توپ در مسیر برآیند آن دو نیرو حرکت خواهد کرد، نه لزوماً در مسیری که شما می‌خواستید! در طناب‌کشی نیز، برآیند نیروهای دو تیم مشخص می‌کند طناب به کدام سمت حرکت می‌کند. اگر تیم راست با نیروی 500 نیوتن و تیم چپ با نیروی 450 نیوتن بکشند، برآیند نیرو 50 نیوتن به سمت تیم راست است.

اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم

پاورقی

[1] بردارها (Vectors): کمیت‌های فیزیکی که برای توصیف کامل آن‌ها علاوه بر اندازه، به جهت نیز نیاز است.

[2] برآیند (Resultant): بردار حاصل از جمع دو یا چند بردار.

[3] جمع برداری (Vector Addition): عملیات ریاضی برای ترکیب دو یا چند بردار و یافتن بردار برآیند.

[4] کمیت (Quantity): هر چیزی که قابل اندازه‌گیری باشد.

[5] کمیت نرده‌ای (Scalar Quantity): کمیتی که تنها با یک عدد و یکا مشخص می‌شود و جهت ندارد.

[6] کمیت برداری (Vector Quantity): کمیتی که علاوه بر اندازه، جهت نیز دارد.

[7] اندازه (Magnitude): بزرگی یا طول یک بردار که یک عدد غیرمنفی است.

[8] نیوتن (Newton): یکای استاندارد اندازه‌گیری نیرو در سیستم SI.