چندضلعی‌های مقعر: شکل‌های فرورفته و جالب
چندضلعی مقعر چیست؟
یک چندضلعی، شکل مسطح و بسته‌ای است که از اتصال چند پاره‌خط به وجود می‌آید. وقتی صحبت از چندضلعی مقعر می‌شود، منظور شکلی است که حداقل یک زاویه‌ی داخلی در آن وجود دارد که اندازه‌اش از 180 درجه بیشتر است. به این زاویه، "زاویه بازتاب" یا "فرورفته" نیز می‌گویند. اگر بخواهیم ساده بگوییم، اگر خطی را روی یکی از اضلاع این چندضلعی قرار دهید، بخشی از شکل به داخل آن "فرو می‌رود" یا "تو می‌رود".
تفاوت چندضلعی مقعر و محدب
برای درک بهتر، باید تفاوت این دو را بدانیم. در یک چندضلعی محدب، تمام زوایای داخلی کوچک‌تر از 180 درجه هستند و اگر هر دو نقطه از داخل شکل را به هم وصل کنید، خط حاصل کاملاً درون شکل قرار می‌گیرد. اما در چندضلعی مقعر، این شرایط برقرار نیست.
| ویژگی | چندضلعی محدب | چندضلعی مقعر |
|---|---|---|
| زوایای داخلی | همه کوچک‌تر از 180° | حداقل یکی بزرگتر از 180° |
| قطرها | همه درون شکل قرار دارند | حداقل یک قطر بخشی خارج از شکل است |
| شکل کلی | برآمده و یکنواخت | دارای فرورفتگی یا "حفره" |
مثال‌هایی از چندضلعی مقعر در اطراف ما
شاید فکر کنید این شکل‌ها فقط در کتاب‌های ریاضی وجود دارند، اما نمونه‌های ساده‌ای از آن‌ها را در زندگی روزمره می‌بینیم. یک ستارهی ساده که کودکان می‌کشند، یک مثال کلاسیک است. اگر نقاط تیز ستاره را به هم وصل کنید، یک چندضلعی مقعر به دست می‌آید. شکل برخی پازل‌ها یا طرح برخی گل‌ها نیز می‌تواند به صورت مقعر باشد. حتی برخی از نشان‌های راهنمایی و رانندگی یا طرح‌های تزئینی روی سفال‌ها نیز از این قاعده پیروی می‌کنند.
چگونه یک چندضلعی مقعر را تشخیص دهیم؟
سه روش ساده برای تشخیص این شکل‌ها وجود دارد:
۱. بررسی زوایای داخلی: کافی است اندازه‌ی همه‌ی زوایای داخلی شکل را محاسبه یا اندازه‌گیری کنید. اگر حتی یکی از آن‌ها از 180 درجه بزرگتر بود، شکل مقعر است.
۲. روش خط کش: یک خط کش را در امتداد هر ضلع شکل قرار دهید. اگر خط کش بخشی از یک ضلع دیگر را در سمت دیگر خود قطع کند (یعنی شکل به داخل برود)، آن چندضلعی مقعر است.
۳. رسم قطرها: از یک رأس، قطرها را به رأس‌های غیرمجاور رسم کنید. اگر حتی یکی از این قطرها کاملاً درون شکل قرار نگیرد و بخشی از آن خارج از محیط شکل باشد، چندضلعی مقعر است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
خیر. مجموع زوایای داخلی یک مثلث همیشه دقیقاً 180 درجه است. بنابراین هیچ یک از زوایای آن نمی‌تواند بزرگتر از 180 درجه باشد. کوچک‌ترین چندضلعی که می‌تواند مقعر باشد، یک چهارضلعی است.
خیر. این بستگی به نحوه‌ی رسم ستاره دارد. اگر خطوط ستاره از مرکز عبور کنند و شکل پیچیده‌تری ایجاد شود، ممکن است یک چندضلعی محدب یا حتی یک شکل غیر چندضلعی باشد. اما ستارهی پنج‌پر ساده که با وصل کردن نقاط یک پنج‌ضلعی به صورت یک‌درمیان رسم می‌شود، یک چندضلعی مقعر است.
بله، معمولاً هست. برای محاسبه مساحت یک چندضلعی محدب می‌توان آن را به راحتی به مثلث‌هایی تقسیم کرد که همگی درون شکل هستند. اما در چندضلعی مقعر، این بخش‌بندی نیاز به دقت بیشتری دارد زیرا برخی از مثلث‌ها ممکن است خارج از محیط اصلی شکل قرار بگیرند و باید مساحت آن‌ها را کم کرد.
چندضلعی مقعر، شکل بسته‌ای است که حداقل یک "فرورفتگی" یا زاویه‌ی بزرگتر از 180 درجه دارد. این شکل‌ها برخلاف چندضلعی‌های محدب، دارای قطرهای خارجی هستند و تشخیص آن‌ها با روش‌های ساده‌ای مانند روش خط کش امکان‌پذیر است. با وجودی که ممکن است محاسبات مربوط به آن‌ها کمی پیچیده باشد، ولی درک مفهوم و شناسایی آن‌ها بسیار آسان و جذاب است.
پاورقی
1چندضلعی مقعر (Concave Polygon): به چندضلعی‌ای گفته می‌شود که حداقل یک زاویه‌ی داخلی بزرگتر از ۱۸۰ درجه داشته باشد و حداقل یکی از قطرهایش در خارج از محیط شکل قرار گیرد.
2چندضلعی محدب (Convex Polygon): چندضلعی‌ای که تمام زوایای داخلی آن کوچک‌تر از ۱۸۰ درجه باشد و تمام پاره‌خط‌های واصل بین هر دو نقطه از داخلش، کاملاً درون آن قرار بگیرند.
