عددهای گویا: زبان ریاضی زندگی روزمره
عدد گویا چیست و چگونه نمایش داده می‌شود؟
به زبان ساده، هر عددی که بتوان آن را به صورت یک کسر نوشت، که در آن صورت و مخرج هر دو عدد صحیح۲ باشند و مخرج آن صفر نباشد، یک عدد گویا نامیده می‌شود. عددهای صحیح، خودشان نیز حالت خاصی از عددهای گویا هستند؛ زیرا می‌توان هر عدد صحیح مانند 5 را به صورت کسر $\frac{5}{1}$ نوشت.
یک عدد گویا همیشه به این شکل است: $\frac{a}{b}$ که در آن: a و b عددهای صحیح هستند و b \neq 0 (یعنی مخرج نمی‌تواند صفر باشد).
برای نمونه، وقتی یک پیتزا را بین ۴ دوست خود به طور مساوی تقسیم می‌کنید، سهم هر نفر می‌شود $\frac{1}{4}$ پیتزا. این کسر، یک عدد گویا است. عددهای اعشاریِ پایانی یا متناوب نیز گویا هستند. مثلاً 0.5 برابر است با $\frac{1}{2}$ و عدد 0.333...$ که با 0.\overline{3}$ نشان داده می‌شود، برابر است با $\frac{1}{3}$.
| نمایش کسری | نمایش اعشاری | مثال در زندگی |
|---|---|---|
| $\frac{3}{4}$ | 0.75 | سه‌چهارم یک ساعت (45 دقیقه) |
| $\frac{2}{5}$ | 0.4 | دو‌پنجم یک بطری آب |
| $\frac{7}{1}$ | 7 | هفت عدد سیب کامل |
| $\frac{1}{3}$ | 0.333... | یک‌سوم از یک کیک |
انواع عددهای گویا و ساده کردن آن‌ها
عددهای گویا را می‌توان به چند دسته تقسیم کرد:
عددهای گویا مثبت و منفی: اگر علامت صورت و مخرج یک کسر یکسان باشد، عدد گویا مثبت است (مانند $\frac{+3}{+4}$ یا $\frac{-2}{-5}$). اگر علامت صورت و مخرج متفاوت باشد، عدد گویا منفی است (مانند $\frac{+3}{-4}$). این مانند بدهکاری یا کاهش است؛ مثلاً اگر 3 سکه بدهکار باشید، می‌توان گفت -3 سکه دارید.
ساده کردن کسرها: گاهی یک کسر را می‌توان به شکل ساده‌تری نوشت. برای این کار، بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه‌مشترک۳ (ب.م.م) صورت و مخرج را پیدا کرده و هر دو را بر آن عدد تقسیم می‌کنیم. این کار مانند تقسیم یک کیک به تکه‌های ریزتر است، بدون اینکه مقدار کل آن تغییر کند.
مثال: کسر $\frac{6}{8}$ را در نظر بگیرید. ب.م.م عددهای 6 و 8، عدد 2 است. پس داریم: $\frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$. بنابراین، $\frac{6}{8}$ و $\frac{3}{4}$ با هم برابرند.
چگونه با عددهای گویا محاسبه انجام دهیم؟
چهار عمل اصلی (جمع، تفریق، ضرب و تقسیم) روی عددهای گویا قابل انجام است. برای جمع و تفریق، باید مخرج‌های مشترک بگیریم، اما برای ضرب و تقسیم، کار ساده‌تر است.
| عمل | روش انجام | مثال |
|---|---|---|
| جمع | مخرج‌ها را یکسان کرده و صورت‌ها را جمع می‌کنیم. | $\frac{1}{4} + \frac{1}{2} = \frac{1}{4} + \frac{2}{4} = \frac{3}{4}$ |
| تفریق | مخرج‌ها را یکسان کرده و صورت‌ها را تفریق می‌کنیم. | $\frac{3}{5} - \frac{1}{5} = \frac{2}{5}$ |
| ضرب | صورت را در صورت و مخرج را در مخرج ضرب می‌کنیم. | $\frac{2}{3} \times \frac{4}{5} = \frac{8}{15}$ |
| تقسیم | کسر اول را در معکوس کسر دوم ضرب می‌کنیم. | $\frac{2}{3} \div \frac{4}{5} = \frac{2}{3} \times \frac{5}{4} = \frac{10}{12} = \frac{5}{6}$ |
عددهای گویا در بازار و خرید
یکی از ملموس‌ترین کاربردهای عددهای گویا، هنگام خرید و محاسبه‌ی تخفیف است. فرض کنید یک بازی ویدیویی 120,000 تومان قیمت دارد و فروشگاه روی آن 25% تخفیف گذاشته است. برای محاسبه‌ی مبلغ تخفیف، باید 25% را که معادل کسر $\frac{25}{100}$ یا $\frac{1}{4}$ است، در قیمت اصلی ضرب کنید: $\frac{1}{4} \times 120,000 = 30,000$ تومان. پس قیمت نهایی بازی می‌شود: 120,000 - 30,000 = 90,000 تومان.
در پخت و پز نیز از این اعداد زیاد استفاده می‌شود. اگر دستور پخت کیکی برای 4 نفر باشد و شما بخواهید برای 6 نفر بپزید، باید مقدار همه‌ی مواد را در $\frac{6}{4} = \frac{3}{2}$ ضرب کنید. یعنی هر مقدار ماده‌ای که در دستور اصلی است، باید "یک و نیم" برابر شود.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
بله! زیرا می‌توان آن را به صورت کسر $\frac{0}{1}$، $\frac{0}{5}$ یا هر کسری که صورت آن صفر باشد (و مخرجش غیرصفر) نوشت. یادتان باشد که مخرج هیچ‌گاه نمی‌تواند صفر باشد.
فرض کنید بخواهیم $\frac{5}{0}$ را محاسبه کنیم. این معنی می‌دهد که باید عددی پیدا کنیم که اگر در 0 ضرب شود، حاصل 5 شود. اما هر عددی در صفر ضرب شود، نتیجه صفر می‌شود، نه 5. پس چنین عددی وجود ندارد و تقسیم بر صفر در ریاضی تعریف نشده است.
خیر. فقط عددهای اعشاری که پایان‌پذیر (مانند 0.25) یا متناوب (مانند 0.333...) باشند، گویا هستند. عددهای اعشاری نامتناوب مانند عدد پی (π)، گویا محسوب نمی‌شوند.
عددهای گویا، اعدادی هستند که با کسر نمایش داده می‌شوند و کاربرد فراوانی در زندگی روزمره‌ی ما دارند. از محاسبه‌ی سهم‌مان از یک خوراکی گرفته تا فهمیدن تخفیف یک کالا، همه و همه با این اعداد سر و کار دارند. با یادگیری چهار عمل اصلی روی این اعداد و درک مفهوم ساده‌سازی، می‌توانید مسائل ریاضی و واقعی بسیاری را به راحتی حل کنید.
پاورقی
۱عدد گویا (Rational Number): به اعدادی گفته می‌شود که بتوان آن‌ها را به صورت کسری از دو عدد صحیح نوشت.
۲عدد صحیح (Integer): مجموعه‌ای از اعداد شامل ... , -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ... .
۳بزرگ‌ترین مقسوم‌علیه‌مشترک - ب.م.م (Greatest Common Divisor - GCD): بزرگ‌ترین عددی که هر دو عدد بر آن بخش‌پذیر باشند.
