بردارها: راهنمای گام‌به‌گام برای دانش‌آموزان
بردار چیست و چه ویژگی‌هایی دارد؟
یک بردار در ریاضیات، یک مقدار است که هم اندازه دارد و هم جهت. برای درک بهتر، حرکت یک ماشین اسباب‌بازی را در نظر بگیرید. اگر به شما بگوییم این ماشین 2 متر حرکت کرد، این اطلاعات کامل نیست زیرا نمی‌دانیم به کدام سمت رفته است. اما اگر بگوییم ماشین 2 متر به سمت شرق حرکت کرد، این یک توصیف کامل و در واقع یک بردار است.
دو ویژگی اصلی هر بردار عبارت‌اند از:
- اندازه (طول یا بزرگی): این ویژگی می‌گوید بردار چقدر "بزرگ" است. در مثال ماشین، عدد 2 متر، اندازه جابجایی را نشان می‌دهد. اندازه یک بردار همیشه یک عدد مثبت است (یا صفر).
- جهت: این ویژگی مسیر و سوئی را که بردار به آن اشاره می‌کند، مشخص می‌سازد، مانند شمال، جنوب، چپ یا راست.
یک کمیت که فقط اندازه دارد و جهت ندارد، عدد معمولی (نرده‌ای)4 نامیده می‌شود. دمای هوا (25 درجه سانتی‌گراد) یا وزن یک میز (10 کیلوگرم) نمونه‌هایی از اعداد معمولی هستند.
| ویژگی | کمیت برداری | کمیت نرده‌ای (عدد معمولی) |
|---|---|---|
| تعریف | هم اندازه دارد و هم جهت | فقط اندازه دارد |
| مثال‌ها | جابجایی، نیرو، سرعت | دما، جرم، زمان |
| نمایش | پیکان | عدد تنها |
چگونه بردارها را نمایش دهیم و نام‌گذاری کنیم؟
برای اینکه بتوانیم به راحتی با بردارها کار کنیم، باید بتوانیم آن‌ها را روی کاغذ نمایش داده و برای هر کدام یک نام مشخص انتخاب کنیم.
نام‌گذاری با حروف انگلیسی: برای اشاره به یک بردار خاص، معمولاً از یک حرف بزرگ انگلیسی استفاده می‌کنیم. برای نشان دادن اینکه این حرف نمایانگر یک بردار است، روی آن یک پیکان کوچک می‌گذاریم. برای مثال، بردار A را به صورت $\vec{A}$ یا A نشان می‌دهیم. وقتی می‌خواهیم فقط به اندازه این بردار اشاره کنیم، از نماد $|\vec{A}|$ استفاده می‌کنیم یا گاهی فقط همان حرف را بدون پیکان می‌نویسیم ($A$).
همچنین می‌توانیم بردار را با استفاده از نقطه شروع و پایانش نام‌گذاری کنیم. اگر بردار از نقطه P شروع شود و به نقطه Q ختم شود، آن را به صورت $\overrightarrow{PQ}$ نشان می‌دهیم. نقطه P "دم" و نقطه Q "سر" بردار نامیده می‌شود.
بردارها در زندگی روزمره ما
شاید فکر کنید بردارها فقط در کتاب ریاضی وجود دارند، اما مثال‌های زیادی از آن‌ها در اطراف ما هست:
- مسیریابی با نقشه: وقتی برنامه نقشه روی تلفن همراه به شما می‌گوید: "300 متر به سمت شمال بروید"، در واقع یک بردار جابجایی به شما داده است. اندازه: 300 متر، جهت: شمال.
- ضربه زدن به توپ فوتبال: وقتی به توپ ضربه می‌زنید، نیرویی به آن وارد می‌کنید. این نیرو یک کمیت برداری است. اندازه آن به قدرت ضربه شما و جهت آن به سمتی که پایتان را می‌زنید بستگی دارد.
- کشیدن یک سبد: وقتی سبد خرید را در فروشگاه می‌کشید، نیرویی به دسته آن وارد می‌کنید. این نیرو یک بردار است که جهت آن در راستای حرکت شماست.
سوالات متداول درباره بردارها
بله. اگر جهت یک بردار را برعکس کنیم، بردار جدیدی به دست می‌آید که اندازه‌اش برابر بردار اولیه است، اما جهتش کاملاً مخالف آن است. به این بردار، بردار مخالف5 می‌گویند. برای مثال، اگر $\vec{A}$ نشان‌دهنده حرکت 5 کیلومتری به شرق باشد، $-\vec{A}$ نشان‌دهنده حرکت 5 کیلومتری به غرب است.
بردار با اندازه صفر را بردار صفر6 می‌نامند. در این حالت، بحث جهت معنایی ندارد. اگر شما از نقطه A شروع به حرکت کنید و دوباره به همان نقطه بازگردید، جابجایی کلی شما یک بردار صفر است.
خیر. در رسم‌های شماتیک، گاهی برای وضوح بیشتر، پیکان‌های بزرگ‌تر یا کوچک‌تری می‌کشیم. در این موارد، باید یک مقیاس تعریف کنیم. مثلاً مشخص کنیم که هر سانتی‌متر روی کاغذ، معادل 1 متر در واقعیت است.
پاورقی
1بردار (Vector): یک کمیت در ریاضی و فیزیک که هم اندازه و هم جهت دارد.
2اندازه (Magnitude): بزرگی یا طول یک بردار. همیشه یک عدد غیرمنفی است.
3جهت (Direction): مسیر و سوئی که بردار به آن اشاره می‌کند.
4عدد معمولی یا نرده‌ای (Scalar): یک کمیت که فقط اندازه (بزرگی) دارد و فاقد جهت است.
5بردار مخالف (Negative Vector): برداری که اندازه‌اش با بردار اصلی برابر اما جهتش مخالف آن است.
6بردار صفر (Zero Vector): برداری که اندازه آن صفر است و جهت برای آن تعریف نمی‌شود.
