حجم‌های جادویی: ساختن اجسام سه‌بعدی با چرخش
حجم دورانی چیست؟
فرض کنید یک برگه کاغذ برمی‌دارید و روی آن یک شکل ساده، مثل یک مستطیل، می‌کشید. اگر این مستطیل را به دور یکی از اضلاعش بچرخانید، چه شکلی به دست می‌آید؟ یک استوانه! به این فرآیند، ایجاد حجم دورانی۱ می‌گویند. در واقع، ما با چرخاندن یک شکل دو بعدی حول یک خط راست (که به آن محور دوران۲ می‌گوییم)، یک جسم سه بعدی می‌سازیم.
این محور می‌تواند به صورت افقی، عمودی یا حتی مایل باشد. شکل نهایی به شکل اولیه و محل قرارگیری محور بستگی دارد.
انواع حجم‌های دورانی معروف
با چرخش شکل‌های هندسی ساده، می‌توانیم اجسام آشنا و پرکاربردی بسازیم. در جدول زیر برخی از این حجم‌ها را مشاهده می‌کنید:
| شکل پایه (دو بعدی) | محور دوران | حجم سه بعدی حاصل | مثال از زندگی |
|---|---|---|---|
| مستطیل | یکی از اضلاع بلند | استوانه | لیوان یکبار مصرف، قوطی کنسرو |
| مثلث قائم‌الزاویه | یکی از ساق‌ها | مخروط | کلاه جشن، قیف |
| نیم‌دایره | قطر | کره | توپ فوتبال، زمین‌گرد |
| دایره (توپر) | یک خط خارج از دایره | حجم حلقوی (چنبره)۴ | شیرینی دونات، تویوب |
چگونه در اطراف ما ساخته می‌شوند؟
خیلی از وسایلی که هر روز استفاده می‌کنیم، با همین اصل ساخته شده‌اند. برای مثال، یک کارخانه تولید لیوان پلاستیکی را در نظر بگیرید. ابتدا یک ورق پلاستیک مستطیلی شکل دارند. این ورق، شکل پایه است. سپس این ورق را به دور یک میله استوانه‌ای (که نقش محور دوران را دارد) می‌چرخانند و لبه‌هایش را به هم جوش می‌دهند. به این ترتیب، یک لیوان استوانه‌ای ساخته می‌شود.
حتی یک کاسه سفالی نیز با چرخش ساخته می‌شود. سفالگر روی چرخ سفالگری، یک توده گِل را قرار می‌دهد. با چرخش سریع چرخ (محور دوران)، دستانش را به گِل فشار می‌دهد و شکل یک کاسه (که شبیه به چرخش یک منحنی است) را ایجاد می‌کند.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر. اگر شکل اولیه ما توخالی یا فقط یک خط باشد، حجم حاصل نیز می‌تواند توخالی باشد یا فقط یک پوسته باشد. مثلاً چرخش یک پاره‌خط حول یک محور، می‌تواند سطح جانبی یک مخروط یا استوانه را ایجاد کند، نه خود حجم آن را.
پاسخ: نه. محور می‌تواند کاملاً جدا از شکل و در فاصله‌ای از آن قرار گیرد. مانند وقتی که یک دایره را حول محوری دور از مرکزش می‌چرخانیم و یک حجم حلقوی (مانند دونات) ایجاد می‌شود.
پاسخ: چون فرآیند اصلی برای ساختن آن‌ها، چرخش یا دوران یک شکل حول یک خط ثابت است. این کلمه دقیقاً عمل انجام شده را توصیف می‌کند.
پاورقی
۱حجم دورانی (Volumes of Revolution): به حجم سه‌بعدی حاصل از چرخش یک شکل مسطح دو بعدی حول یک محور ثابت گفته می‌شود.
۲محور دوران (Axis of Rotation): خط مستقیم ثابتی که شکل دو بعدی حول آن می‌چرخد.
۳شکل پایه (Generating Shape/Base Shape): شکل دو بعدی اولیه‌ای که با چرخش آن حول محور، حجم سه بعدی ایجاد می‌شود.
۴حجم حلقوی / چنبره (Torus): یک حجم سه بعدی که شبیه به حلقه یا دونات است و از چرخش یک دایره حول یک محور خارج از آن ایجاد می‌شود.