مقایسه‌ی حجم‌هایی که با یک سطح مشخص درست شده‌اند
حجم چیست و چگونه محاسبه می‌شود؟
حجم، مقدار فضایی است که یک جسم سه‌بعدی اشغال می‌کند. برای محاسبه‌ی حجم بسیاری از اجسام، از یک فرمول پایه استفاده می‌شود:
V حجم، A مساحت پایه۱ و h ارتفاع جسم است.
فرض کنید یک زمین بازی دارید که مساحت آن ثابت است. اگر روی این زمین، یک ساختمان یک‌طبقه یا یک آسمان‌خراش بسیار بلند بسازید، مساحت زمین (پایه) تغییر نمی‌کند، اما ارتفاع ساختمان متفاوت است. بنابراین، حجم فضای اشغال‌شده توسط آسمان‌خراش بسیار بیشتر از ساختمان یک‌طبقه خواهد بود. این یک اصل مهم است: با مساحت پایه‌ی ثابت، حجم مستقیماً با ارتفاع نسبت دارد. یعنی اگر ارتفاع دو برابر شود، حجم نیز دو برابر می‌شود.
تأثیر ارتفاع بر حجم با پایه ثابت
وقتی شکل و مساحت پایه یکسان باشد، ارتفاع عامل تعیین‌کننده‌ی حجم است. به مثال‌های زیر توجه کنید:
| شکل جسم | مساحت پایه (سانتی‌متر مربع) | ارتفاع (سانتی‌متر) | حجم (سانتی‌متر مکعب) |
|---|---|---|---|
| مکعب‌مستطیل ۱ | 50 | 10 | 500 |
| مکعب‌مستطیل ۲ | 50 | 20 | 1000 |
| مکعب‌مستطیل ۳ | 50 | 5 | 250 |
همان‌طور که در جدول بالا می‌بینید، با ثابت بودن مساحت پایه (50 سانتی‌متر مربع)، با افزایش ارتفاع، حجم به‌طور مستقیم افزایش می‌یابد. وقتی ارتفاع از 10 به 20 سانتی‌متر میرسد (یعنی دو برابر می‌شود)، حجم نیز از 500 به 1000 سانتی‌متر مکعب (دو برابر) افزایش پیدا می‌کند.
تأثیر شکل پایه بر حجم با محیط ثابت
گاهی اوقات، به جای مساحت پایه، محیط۲ آن ثابت است. اما شکل پایه می‌تواند متفاوت باشد. آیا می‌دانستید با یک محیط ثابت، شکل‌های مختلف می‌توانند مساحت‌های متفاوتی داشته باشند؟ این موضوع مستقیماً بر حجم اثر می‌گذارد.
فرض کنید یک نخ به طول ثابت دارید و می‌خواهید با آن یک شکل بسته درست کنید. اگر این شکل یک مربع باشد، مساحت آن یک مقدار است. اگر همان نخ را به شکل یک دایره درآورید، مساحت بیشتری خواهید داشت! بنابراین، با یک محیط ثابت، دایره بیشترین مساحت ممکن را در بین همه‌ی شکل‌ها دارد. حالا اگر این شکل‌ها به عنوان پایه‌ی یک منشور با ارتفاع ثابت استفاده شوند، منشوری که پایه‌ی دایره‌ای شکل دارد، حجم بیشتری خواهد داشت.
کاربردهای عملی در زندگی روزمره
این مفاهیم فقط در کتاب‌های درسی نیستند، بلکه همه‌جا در اطراف ما دیده می‌شوند:
بسته‌بندی‌ها: چرا برخی بطری‌های نوشابه بلند و باریک و برخی کوتاه و پهن هستند؟ شرکت‌ها با تغییر نسبت ارتفاع و مساحت پایه، هم به ظاهر محصول توجه می‌کنند و هم حجم مشخصی از مایع را در آن جای می‌دهند. یک بسته‌ی پفک با پایه‌ی بزرگ و ارتفاع کم، ممکن است همان حجم را داشته باشد که یک بسته‌ی باریک و بلند دارد.
معماری و ساختمان‌سازی: در یک زمین با مساحت محدود (پایه‌ی ثابت)، برای ایجاد فضای بیشتر (حجم بیشتر)، ساختمان را به سمت بالا می‌سازند (افزایش ارتفاع). این همان دلیل ساخت آسمان‌خراش‌ها است.
ظروف آشپزخانه: یک قابلمه‌ی با کف پهن و کم‌ارتفاع ممکن است همان حجم یک کتری باریک و بلند را داشته باشد. اما شکل آن برای کاربردهای مختلف (مثلاً سرخ کردن در مقابل جوشاندن آب) مناسب‌تر است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاورقی
۱مساحت پایه (Base Area): به اندازه‌ی سطحی که جسم بر روی آن قرار می‌گیرد گفته می‌شود. برای مثال، مساحت کف یک جعبه.
۲محیط (Perimeter): به طول خط دور یک شکل دو بعدی گفته می‌شود.
حجم (Volume): مقدار فضایی که یک جسم سه‌بعدی اشغال می‌کند.
منشور (Prism): جسم سه‌بعدی که دو پایه‌ی هم‌شکل و موازی دارد و وجه‌های جانبی آن متوازی‌الاضلاع هستند.
استوانه (Cylinder): نوعی منشور با پایه‌ی دایره‌ای.