بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م)1
ب.م.م چیست و چگونه محاسبه می‌شود؟
فرض کنید دو عدد ۱۲ و ۱۸ را داریم. مقسوم‌علیه‌های عدد ۱۲ اعداد ۱, ۲, ۳, ۴, ۶, ۱۲ هستند. مقسوم‌علیه‌های عدد ۱۸ نیز اعداد ۱, ۲, ۳, ۶, ۹, ۱۸ می‌باشند. اعداد مشترک بین این دو مجموعه، یعنی ۱, ۲, ۳, ۶، مقسوم‌علیه‌های مشترک نامیده می‌شوند. بزرگترین این اعداد، یعنی ۶، ب.م.م۱۲ و ۱۸ است.
برای محاسبه‌ی ب.م.م روش‌های مختلفی وجود دارد. در پایهٔ هفتم، دو روش اصلی را یاد می‌گیریم:
۱. روش نوشتن مقسوم‌علیه‌ها: در این روش، تمام مقسوم‌علیه‌های هر عدد را می‌نویسیم و بزرگترین عدد مشترک بین آن‌ها را پیدا می‌کنیم. این روش برای اعداد کوچک بسیار مناسب است.
۲. روش تجزیه به عوامل اول2: در این روش، هر عدد را به صورت حاصل‌ضرب عوامل اول آن می‌نویسیم. سپس تنها عوامل مشترک را با کمترین توان انتخاب کرده و در هم ضرب می‌کنیم.
| عدد | تجزیه به عوامل اول | عوامل مشترک با کمترین توان | ب.م.م (حاصل ضرب عوامل) |
|---|---|---|---|
| ۲۴ | $ 2^3 \times 3 $ | $ 2^2 \times 3 $ | ۱۲ |
| ۳۶ | $ 2^2 \times 3^2 $ |
ب.م.م در زندگی روزمره چه استفاده‌هایی دارد؟
شاید فکر کنید ب.م.م فقط یک مفهوم درسی است، اما کاربردهای عملی زیادی در زندگی دارد. در این بخش با چند مثال آشنا می‌شوید.
مثال ۱: تقسیم شکلات یا میوه
فرض کنید ۲۴ قطعه شکلات و ۱۸ عدد سیب دارید و می‌خواهید آن‌ها را به چند سبد تقسیم کنید به طوری که:
- محتوای همهٔ سبدها یکسان باشد (همه شکلات و سیب‌ها استفاده شوند).
- بیشترین تعداد سبد ممکن را داشته باشید.
تعداد سبدها دقیقاً برابر است با ب.م.م ۲۴ و ۱۸، که می‌دانیم ۶ است. در هر سبد ۴ شکلات (۲۴ ÷ ۶ = ۴) و ۳ سیب (۱۸ ÷ ۶ = ۳) قرار می‌گیرد.
مثال ۲: کاشی‌کاری و طراحی
اگر بخواهید یک دیوار مستطیلی را با کاشی‌های مربعی شکل بپوشانید، و هم طول و هم عرض دیوار باید بر اندازهٔ ضلع کاشی بخش‌پذیر باشند، بزرگترین اندازه‌ای که برای کاشی می‌توانید انتخاب کنید تا هیچ برشی نیاز نباشد، برابر با ب.م.م طول و عرض دیوار است. برای مثال، برای دیواری به ابعاد ۲۴۰ سانتی‌متر در ۱۶۰ سانتی‌متر، ب.م.م این دو عدد ۸۰ است. پس می‌توان از کاشی‌های ۸۰ × ۸۰ سانتی‌متر استفاده کرد.
مثال ۳: ساده کردن کسرها
یکی از مهم‌ترین کاربردهای ب.م.م، ساده کردن کسرها است. برای ساده کردن کسر $ \frac{18}{24} $، ب.م.م صورت و مخرج، یعنی ۱۸ و ۲۴، را پیدا می‌کنیم که ۶ است. سپس صورت و مخرج را بر ۶ تقسیم می‌کنیم: $ \frac{18 \div 6}{24 \div 6} = \frac{3}{4} $.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
بله. اعداد اول فقط بر ۱ و خودشان بخش‌پذیرند. پس تنها مقسوم‌علیه مشترک بین دو عدد اول متفاوت، عدد ۱ خواهد بود. برای مثال، ب.م.م ۷ و ۱۱ برابر با ۱ است.
در این حالت، عدد کوچک‌تر، خودِ ب.م.م است. برای مثال، اگر عدد ۶ مقسوم‌علیهٔ ۱۸ باشد، ب.م.م ۶ و ۱۸ برابر با ۶ است.
یک اشتباه رایج این است که دانش‌آموزان تمام عوامل اول دو عدد را در هم ضرب می‌کنند، در حالی که فقط باید عوامل مشترک با کمترین توان را ضرب کنند. برای مثال، در محاسبه ب.م.م ۲۴ و ۳۶، اگر کسی $ 2^3 \times 3^2 = 72 $ را به دست آورد، این کار اشتباه است. جواب صحیح $ 2^2 \times 3 = 12 $ می‌باشد.
بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک (ب.م.م) یک ابزار ریاضی قدرتمند و کاربردی است. ما یاد گرفتیم که ب.م.م بزرگترین عددی است که دو یا چند عدد بر آن بخش‌پذیرند. آن را می‌توان با روش‌های مختلفی مانند نوشتن مقسوم‌علیه‌ها یا تجزیه به عوامل اول محاسبه کرد. از ب.م.م در موقعیت‌های واقعی مانند تقسیم عادلانهٔ منابع، طراحی و ساده کردن کسرها استفاده می‌شود. با تمرین بیشتر، تسلط شما بر این مفهوم افزایش خواهد یافت.
پاورقی
1ب.م.م (بزرگترین مقسوم‌علیه مشترک): Greatest Common Divisor (GCD). به بزرگترین عدد طبیعی گفته می‌شود که دو عدد بر آن بخش‌پذیر باشند.
2عوامل اول (Prime Factors): به اعدادی گفته می‌شود که فقط بر ۱ و خودشان بخش‌پذیر باشند. وقتی یک عدد را به صورت حاصل‌ضرب اعداد اول می‌نویسیم، به آن تجزیه به عوامل اول می‌گویند.