ساده کردن عبارت و محاسبه مقدار عددی آن
عبارت جبری چیست و چرا باید آن را ساده کنیم؟
یک عبارت جبری ترکیبی از اعداد، حروف (که به آن‌ها متغیر۱ می‌گوییم) و عمل‌های ریاضی مثل جمع و ضرب است. هدف از ساده‌کردن، کوتاه‌تر و مرتب‌تر کردن عبارت است تا محاسبات بعدی راحت‌تر شود. فرض کنید می‌خواهید برای یک مهمانی، هزینه خرید شیرینی را حساب کنید. اگر قیمت هر عدد شیرینی x تومان باشد و شما ۳ عدد شیرینی معمولی و ۲ عدد شیرینی شکلاتی (که آن هم قیمتش x تومان است) بخرید، کل هزینه شما می‌شود: $3x + 2x$. این عبارت را می‌توان ساده‌تر کرد.
در مثال شیرینی، هر دو جمله x دارند. پس ضرایب (یعنی اعداد ۳ و ۲) را جمع می‌کنیم: $3x + 2x = (3 + 2)x = 5x$. حالا عبارت ساده‌شده $5x$ است.
گام‌های عملی برای ساده‌کردن عبارت‌ها
برای ساده‌کردن هر عبارت، این چهار گام را دنبال کنید:
| گام | شرح | مثال: $2a + 4 + 3a - 1$ |
|---|---|---|
| ۱ | جمله‌های مشابه۳ را شناسایی کن (جمله‌هایی که متغیر و توان یکسان دارند) | جمله‌های دارای a: $2a$ و $3a$؛ جمله‌های ثابت: $4$ و $-1$ |
| ۲ | ضرایب جمله‌های مشابه را با هم جمع یا از هم کم کن | $2a + 3a = 5a$ و $4 - 1 = 3$ |
| ۳ | عبارت جدید را با ترکیب نتایج بنویس | $5a + 3$ |
| ۴ | در صورت امکان، از عامل‌مشترک۴ استفاده کن (اختیاری) | در این مثال، عامل مشترک قابل استخراج نیست. |
محاسبه مقدار عددی عبارت ساده‌شده
پس از ساده‌سازی، اگر مقدار عددی برای متغیرها به ما بدهند، می‌توانیم جواب نهایی را پیدا کنیم. این کاربرد بسیار زیادی در زندگی دارد. مثلاً اگر بدانید هر بسته مداد رنگی m تومان قیمت دارد و شما ۲ بسته می‌خرید و یک پاک‌کن به قیمت ۵۰۰۰ تومان، کل هزینه $2m + 5000$ تومان است. اگر m = 15000$ باشد، محاسبه می‌کنیم: $2 \times 15000 + 5000 = 30000 + 5000 = 35000$ تومان.
بیایید یک مثال کامل را با هم حل کنیم:
مثال: عبارت $4y - 2 + y + 5$ را ساده کنید و سپس اگر y = 3$ باشد، مقدار عددی آن را پیدا کنید.
گام ۱ (ساده‌سازی):
- جمله‌های مشابه در y: $4y$ و $y$ (که همان $1y$ است).
- جمله‌های ثابت: $-2$ و $5$.
- جمع ضرایب y: $4 + 1 = 5$، پس می‌شود $5y$.
- جمع جمله‌های ثابت: $-2 + 5 = 3$.
- عبارت ساده‌شده: $5y + 3$.
گام ۲ (محاسبه مقدار عددی):
- عبارت ساده‌شده را می‌نویسیم: $5y + 3$.
- به جای y، عدد ۳ را قرار می‌دهیم: $5 \times 3 + 3$.
- محاسبات را انجام می‌دهیم: $15 + 3 = 18$.
پس نتیجه نهایی برابر با 18 است.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: خیر، زیرا x و yمتغیرهای متفاوتی هستند و جمله مشابه محسوب نمی‌شوند. فقط جمله‌هایی که دقیقاً یک جور حرف (و توان) دارند را می‌توان با هم جمع کرد.
پاسخ: همیشه اول عمل‌های داخل پرانتز را انجام می‌دهیم. سپس سراغ ضرب و تقسیم می‌رویم و در آخر جمع و تفریق. مثلاً در عبارت $2(a + 1) + 3a$، اول $a+1$ را نمی‌توانیم ساده‌تر کنیم، اما باید اول عدد ۲ را در کل پرانتز ضرب کنیم ($2a + 2$) و سپس جمله‌های مشابه $2a$ و $3a$ را جمع کنیم تا به $5a + 2$ برسیم.
پاسخ: عبارت ساده‌شده هنوز یک عبارت جبری با متغیر است (مثل $5y + 3$). اما مقدار عددی، یک عدد مشخص است که پس از جایگزینی مقدار متغیر به دست می‌آید (مثل 18).
پاورقی
۱متغیر (Variable): نمادی (معمولاً یک حرف) که به جای یک عدد ناشناخته یا متغیر در عبارت جبری قرار می‌گیرد.
۲ضریب (Coefficient): عددی که در یک جمله جبری، یک متغیر را ضرب می‌کند. مثلاً در $5x$، عدد ۵ ضریب است.
۳جمله‌های مشابه (Like Terms): جمله‌هایی که متغیر(ها) و توان(های) یکسان دارند. فقط این جمله‌ها را می‌توان با هم جمع یا تفریق کرد.
۴عامل‌مشترک (Common Factor): عدد یا عبارتی که بتوان آن را از تمام جمله‌های یک عبارت فاکتور گرفت تا عبارت به شکل ضرب شده‌ی ساده‌تری درآید.