معادله چیست و چگونه آن را حل کنیم؟
معادله چیست و چرا شبیه ترازو است؟
یک معادله در ریاضی، مانند یک جمله است که دو طرف آن با علامت مساوی (=) به هم وصل شده‌اند. این علامت به ما می‌گوید که مقدار دو طرف دقیقاً با هم برابر است، درست مانند یک ترازوی دوکفه‌ای که در حالت تعادل قرار دارد. اگر یک کفه ترازو را سنگین‌تر کنیم، تعادل به هم می‌خورد. معادله هم همین طور است.
مثال از زندگی: فرض کنید یک ترازو دارید و در یک کفه آن یک بسته پاستیل به همراه یک تکه سنگ 250 گرمی قرار دارد و کفه دیگر یک وزنه 500 گرمی است و ترازو در حالت تعادل است. ما وزن بسته پاستیل را نمی‌دانیم. اگر آن را x بنامیم، معادله اینگونه می‌شود:
هدف ما این است که مقدار x (وزن پاستیل) را پیدا کنیم. برای این کار باید طوری عمل کنیم که تعادل ترازو (معادله) به هم نخورد.
قانون طلایی: حفظ تعادل با عملیات یکسان
تنها قانونی که همیشه باید در حل معادله رعایت کنیم این است: هر عملیاتی را که روی یک طرف معادله انجام می‌دهیم، باید دقیقاً همان عمل را روی طرف دیگر هم انجام دهیم. این کار باعث می‌شود تعادل معادله حفظ شود.
عملیات‌های اصلی که استفاده می‌کنیم عبارت‌اند از: جمع، تفریق، ضرب و تقسیم.
| هدف ما | عملیاتی که انجام می‌دهیم | مثال معادله اولیه | معادله پس از عملیات |
|---|---|---|---|
| حذف جمع از کنار مجهول | تفریق از دو طرف | $ x + 5 = 9 $ | $ x = 4 $ |
| حذف تفریق از کنار مجهول | جمع به دو طرف | $ x - 3 = 7 $ | $ x = 10 $ |
| حذف ضرب از کنار مجهول | تقسیم دو طرف | $ 2x = 10 $ | $ x = 5 $ |
| حذف تقسیم از کنار مجهول | ضرب دو طرف | $ \frac{x}{4} = 3 $ | $ x = 12 $ |
حل گام‌به‌گام یک معادله
بیایید با هم معادله مثال پاستیل را حل کنیم: $ x + 250 = 500 $
گام اول: تشخیص عملیات مزاحم. در این معادله، عدد 250 با عمل جمع به مجهول x چسبیده است. ما می‌خواهیم x تنها بماند.
گام دوم: انجام عمل معکوس. عمل معکوس جمع، تفریق است. بنابراین از هر دو طرف معادله، عدد 250 را کم می‌کنیم.
گام سوم: ساده‌سازی. در سمت چپ، 250 - 250 می‌شود صفر و فقط x باقی می‌ماند. در سمت راست، 500 - 250 می‌شود 250.
پس وزن بسته پاستیل 250 گرم است! حالا می‌توانیم جواب را در معادله اولیه جایگذاری کنیم تا درستی آن را بررسی کنیم: $ 250 + 250 = 500 $ که درست است.
کاربرد معادله در خرید و تقسیم شیرینی
فرض کنید شما و دوستتان با هم 12 قطعه شیرینی دارید. شما 5 قطعه بیشتر از دوستتان شیرینی برداشته‌اید. هر کدام چند شیرینی دارید؟
تعداد شیرینی‌های دوستتان را x در نظر می‌گیریم. پس شما x + 5 شیرینی دارید. جمع شیرینی‌ها می‌شود 12.
این معادله را ساده می‌کنیم: $ 2x + 5 = 12 $. حالا عدد 5 را از دو طرف کم می‌کنیم: $ 2x = 7 $. در نهایت دو طرف را بر 2 تقسیم می‌کنیم: $ x = 3.5 $. پس دوستتان 3.5 (سه و نیم) قطعه و شما 8.5 (هشت و نیم) قطعه شیرینی دارید.
اشتباهات رایج و پرسش‌های مهم
پاسخ: عمل معکوس تفریق، جمع است. بنابراین همان عدد را به هر دو طرف معادله اضافه می‌کنیم. مثلاً در معادله $ y - 7 = 15 $، عدد 7 را به دو طرف اضافه می‌کنیم تا $ y = 22 $ به دست آید.
پاسخ: بزرگترین اشتباه این است که عملیات را فقط در یک طرف معادله انجام دهیم. مثلاً در معادله $ z + 10 = 30 $، اگر فقط از سمت چپ 10 را کم کنیم، به $ z = 30 $ می‌رسیم که غلط است. حتماً باید از سمت راست هم 10 کم کنیم تا به جواب درست $ z = 20 $ برسیم.
پاسخ: خیر، روش حل دقیقاً یکسان است. مهم این است که عملیات یکسان را روی هر دو طرف انجام دهیم، فرقی نمی‌کند مجهول در کدام سمت باشد. مثلاً در $ 20 = a - 5 $، برای حذف 5-، عدد 5 را به دو طرف اضافه می‌کنیم: $ 25 = a $.
پاورقی
۱معادله (Equation): یک عبارت ریاضی است که نشان می‌دهد دو مقدار با هم برابرند. این برابری با علامت = نشان داده می‌شود.
۲ایزوله کردن (Isolating the Variable): به فرآیندی گفته می‌شود که در آن با انجام عملیات‌های مختلف، متغیر مجهول را در یک سمت معادله تنها می‌گذاریم تا مقدار آن مشخص شود.